148 Teiehmuller^ Diskret bewertete perfekte Körper mit unwUkommenem Reestklassrücörper,

Falle ein Körper, T sei das Teilsystem derjenigen Repräsentanten aus /Î, welche die Restklassen aus Ш vertreten.

Hilfssatz 15. T ist ein Körper.

Beweis , Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten von T-Elementen liegen im Körper R und ihre Restklassen mod n liegen in ^,

Hilfssatz 16. так.

рП рП

Beweis , а sei ein Element von Ш. Dann liegt j/a in j/й = È~^, enthält also ein Ekment oc^ aus K^,. Weil K—, aus К durch Adjunktion gewisser p^-ier Wurzeln und nachfolgendes Abschließen entstanden ist, kann man die p"-te Potenz eines jeden Elements von й^, auch oc'^, durch Elemente von К approximieren; weil К perfekt ist, folgt af^ € K. Nach Hilfssatz 5 strebt aber a^ für л -> oo gegen den Я-Repräsentanten der Restklasse 0, auch dieser liegt also in K.

Wir haben also innerhalb des Ausgangskörpers К ein Repräsentantensystem T gefunden, das ein Körper ist. Nach Hilfssatz 3 lassen sich die Elemente von К eindeutig in die Form

( 5 ) ос = 2:апП^ (a^T) bringen. Wenn man zwei derartige Reihen nach den gewöhnlichen regeln addiert oder multipliziert, erhält man immer wieder eine Potenzreihe der gleichen Form (5). Mit dieser Feststellung ist die Struktur von К genau beschrieben:

К ist der (in üblicher Weise bewertete) Potenzreihenkörper über einem zu Й isomorphen Teilkörper T.

Als Entwicklungsgröße kann man ein beliebiges Primelement л nehmen.

Wir kommen jetzt zum charakteristikungleichen Fall und untersuchen erst un- verzweigte Körper. К sei also ein diskret bewerteter perfekter Körper der Charakteristik 0 mit dem unvollkommenen Restklassenkörper Й der Charakteristik /?, und p sei ein Primelement von K.

Wir werden für alle гг = 0,1, 2,. . . den Restklassenring

ш „ + 1 = //(г+1),

wo / der Bewertungsring von К ist, als Unterring des entsprechenden Restklassenringes, den man für L bilden kann, beschreiben. Wir geben also diejenigen Restklassen aus /Дрп+1) g^n^ (jiß çiji Elem^ent aus / enthalten und die darum, wenn man in nun schon geläufiger Weise//(p"+^) als Unterring von//(/?"+^) auffaßt, Elemente von 9în+i werden; / bezeichnet natürlich den Bewertungsring von L.

Wir bemerken vorweg: aus oc ^ ß (mod p) folgt nach Hilfssatz 8

о ( Г ^ ß^ (mod p ^ ), also

/ ö . p'' " ''^ / ^^ " ~'' ( mod / + ' ) .

Eine Restklasse oc mod p legt also eindeutig eine Restklasse p^otP^"" mod /?"+^ fest. Das gilt für r = 0, 1, . .., л.

Hilfssatz 17. В sei (i^gl. (3)) die Menge aller Ausdrücke

( 6 ) A=a{^---a'/,

worin ttx,.. ., a^ verschiedene Elemente von M und die ei ^ 0 sind. Dann besteht 9î«+i genau aus allen Restklassen

( 7 ) f Л,о<о + Р^\л<Г' + • • • + P'^\,<7' + • • • + P"-f ^i.»^i.» <™od r+i),