Schmid und Witt, Unverzweigte àbeîsche p-Körper über algebraischem РипкШпепкогрег der Charakteristik p, 169

Das Gleichungssystem

( 1 ) AxP-x = b

hat stets eine Lösung.

Beweis , Simultane Transformationen А = SAS"^, x = Sx, b = Sb mit einer regulären Matrix S aus к führen (1) in

( la ) Ax^-x=:b

über^ ) . Nach H.-W. kann durch passende Wahl von S stets erreicht werden, daß A oberhalb der Hauptdiagonale lauter Nullen hat. Man sieht sofort, daß sich 5^,. . ., ж« durch Auflösung von algebraischen Gleichungen so bestimmen lassen, daß x= (S^, ..., Xn) das Gleichungssystem (1 a) befriedigt.

3 . Nun sei К ein algebraischer Funktionenkörper einer Unbestimmten über einem algebraisch abgeschlossenen Konstantenkörper к der Charakteristik p, К habe das Geschlecht g.

An jeder Primstelle p sei ein Element y^ aus der };)-adischen Erweiterung K^ gegeben, und zwar sollen unter diesen Elementen nur für endlich viele Stellen p teile in der Entwicklung auftreten. Unter diesen Voraussetzungen beweisen wir den Satz:

Die Gleichungen

( 2 ) i + ps^ = /

lassen sich mit Elementen |^ aus Kp und einem Element i aus К lösen.

Beweis , Wir dürfen jeldes y^ um dasselbe Element oc aus К abändern. Diese änderungsmöglichkeit benutzen wir, um die y^ geeignet zu normieren.

Es sei p^, , . ., p^ wie in H.-W. ein reguläres Primdivisorensystem, d. h. dim (^1 • • • p^) = 1. Für eine Primstelle p Ф^ p.j für welche y^ den Nenner p^ (r > 0) hat, können wir ein oc aus К so bestimmen, daß y^ ~ oc höchstens den Nenner p^-^^

hat und im übrigen nur die Hauptteile von y*'* — а (i = 1,. . ., g) verändert werden. Weil nämlich

dim (t),. . . t)^î)0 - dim ()),... p^t)^-i) = 1

ist , so gibt es ein Element oc aus K, welches bei p den genauen Nenner p^ mit einem liebig vorgeschriebenen Anfangskoefflzienten hat und sonst nur noch Pole an den Stellen pi besitzt. Nach dieser schrittweisen Abänderung besitzen die y^ höchstens noch an den Stellen p^ (i = 1,. . ., g) Pole.

Hat y^^ den Nenner pl^ (r^ > 1), so können wir y^^ wieder um ein Element л aus К so abändern, daß y^^ — oc einen kleineren Nenner erhält, während sich an den Stellen Pj (/ Ф 0 die Hauptteile höchstens in den Gliedern erster Ordnung verändern und y*^ — <x (|) Ф :p^,.. ., p^) nach wie vor keine Nenner hat. Wegen

dim (1),. . . |)^^^0 - dim (|),. . . p^pl^-^') = 1 gibt es nämlich ein Element oc aus Ä", das an der Stelle p. den genauen Nenner p^* mit passendem Anfangskoeffizenten besitzt und sonst höchstens noch an den Stellen p^ (/ Ф i) Pole erster Ordnung hat.

3 ) Unter S^ verstehen wir die Matrix, die aus S durch Potenzierung aller Elemente mit p entsteht. S^ ist also nicht etwa die p-te Potenz im Sinne des Matrizenprodukts; diese wird gar nicht vorkommen.