Nakayama , Divisionsalgebren über diskret bewerteten perfektefi Körpern.

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Beweis des Satzes 2. D besitzt nach Hilfssatz 2 einen galoisschen unverzweigten Zerfällungskörper К mit über ï separablem Restklassenkörper. Sei D ^ {Ua, т, К) und aa,t = ^^"''^ ba,r, mit Einheiten ba,r in K. (ba,t, K) ist einer unverzweigten Divisions- algebra S ähnlich. Weiter ist nach Witt (тг^'^'^, К) ^ (л, Z, s) mit einem zyklischen verzweigten Körper Z^K. Also Л ^ 6' x (я, Z, s). Die Eindeutigkeit der Darstellung beweist man auch analog wie bei Witt.

Man sieht ferner, daß das Produkt der Maximalordnung von S und der von (я, Z, s) eine Maximalordnung in 5 x (я, Z, s) ist. Die Restklassenalgebra dieser Maximalordnung (nach dem zweiseitigen Primideal) ist der von (einer Maximalordnung von) S x Z isomorph. Andererseits ist sie ein Matrizenring über Ф, und daraus folgt, daß 3 zum Restklassenkörper von Z isomorph ist.

Als eine leichte Anwendung beweisen wir nun

Satz 3. Eine (nicht notwendig normale) Divisionsalgebra D über к besitzt eine bis auf innere Automorphismen eindeutig bestimmte Trägheitsdinsionsalgebra^ wenn das Zentrum 3 der Restklassenalgebra % von D über l separabel ist, (Eine Teilalgebra T von K/k heißt eine Trägheitsalgebra, wenn T unverzweigt über к ist und alle Restklassen in Z), d. b. alle Elemente von ®, durch die Elemente von T repräsentiert werden können.)

a ) Zuerst sei D/k normal. D r^ S x (л;, Z, s) sei die oben erklärte Zerlegung. Ist die Teilalgebra S x Z von S x (л:, Z, s) ein r-reihiger Matrizenring über einer sionsalgebra Г', so ist S X (я, Z, s) r-reihiger Matrizenring über D. Daraus sieht man ohne Mühe, daß D eine zu Г' isomorphe Teilalgebra T besitzt. T ist ersichtlich eine Trägheitsalgebra von D/k, Daß die Trägheitsalgebra von D/k bis auf innere phismen eindeutig bestimmt wird, folgt aus Satz 1.

b ) Jetzt sei D/k nicht-normal, ^o ^^i das Zentrum von D und ki der körper von /co/Zc. Wir konstruieren dann nach Satz 1 eine unverzweigte Divisionsalgebra Ti über kl mit einer zu S) isomorphen Restklassenalgebra. Tq= T^x k^ sei das direkte Produkt von Ti und k^ bezüglich k^. Sind Oq, Di die Maximalordnungen von ft^, Г^, so ist SDo = ^1^0 eine Maximalordnung der (jedenfalls halbeinfachen) Algebra Г^, denn die Diskriminante von Di bezüglich k^ ist (1). Bedeutet weiter щ ein Primelement in Aq, so ist Dq/tzqDq zur Restklassenalgebra von Г^, also zu Ф, isomorph, da kQ/ki voll-verzweigt ist. Demnach ist tïqDq ein Primideal, und Го ist eine Divisionsalgebra. Andererseits gibt es nach a) eine Trägheitsalgebra T von D/Äq. T ist nach Satz 1 zu T^ isomorph, enthält also eine zu T^ isomorphe Teilalgebra T, T ist ersichtlich eine Trägheitsalgebra von D/k.

Nun sei T eine beliebige Trägheitsalgebra von D/k, k^ ist in T enthalten, wie man leicht zeigt, und die Teilalgebra Tk^ von D ist das direkte Produkt T x k^ bezüglich k^, Г* sei eine zweite Trägheitsalgebra von D/k, Analog ist Г* g k^ und Т*к^ = T* x k^ bezüglich k^. Weiter ist Г* zu T isomorph, und dieser Isomorphismus setzt sich in natür-^ lieber Weise zu einem solchen von Т*кд und TkQ fort. Dieser Fortsetzungsisomorphismus wird dann durch einen inneren Automorphismus von D bewirkt.

Damit ist die Behauptung vollständig bewiesen.

Eingegangen 15. März 1937.