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К full, Über separable, insbesondere kompakte separable Gruppen.

daß die (primären) ^^) kompakten separablen Gruppen nichts anderes sind als die terengruppen der (primären) ^®) abzählbaren Torsionsgruppen, und daß die Glieder E^, A^* der Hauptreihe einer beliebig gegebenen kompakten separablen Gruppe A durch das Pontrjaginsche Dualitätsprinzip') umkehrbar eindeutig denjenigen Gruppen zugeordnet werden, die Ulm zur Definition der Invarianten der zugehörigen abzählbaren gruppe A benutzt. Eine gewisse Erschwerung bedeutet dabei nur der Umstand, daß die Charakterengruppen der abzählbaren Torsionsgruppen in der Literatur bisher nicht als „kompakte separable Gruppen" in unserem Sinne, sondern als „nulldimensionale pakte topologische Gruppen" auftraten; auch fehlte bisher m. W. der Begriff der gruppe einer nuUdimensionalen kompakten topologischen Gruppe. Die Durchführung des Beweises gestaltet sich daher etwas umständlicher, als es zunächst scheinen möchte. Doch können wir uns überall dort, wo es sich um ein Anknüpfen an bekannte Dinge aus der Pontrjaginschen Dualitätstheorie handelt, recht kurz fassen. Wichtig ist, daß wir in keiner Weise auf topologische Sätze, etwa auf Dimensionsbetrachtungen, greifen müssen. Wir verifizieren vielmehr unmittelbar die Identität der» kompakten separablen Gruppen mit den Charakterengruppen der abzählbaren Torsionsgruppen und stützen uns im übrigen ausschließlich auf einige einfache allgemeine Hilfssätze über den Zusammenhang zwischen einer Abelschen Gruppe und ihrer Charakterengruppe.

§ 10. Die kompakten separablen Gruppen als Charakterengruppen.

Es sei A eine abzählbare (primäre, zur Primzahl p gehörige) ^®) Torsionsgruppe, also eine abzählbare Abelsche Gruppe, bei der jedes Element eine endliche Potenz der Primzahl p als Ordnung besitzt. Unter einem Charakter (x{A) == oc verstehen wir eine homomorphe Abbildung von A auf die kompakte Additionsgruppe aller reellen Zahlen modulo 1^^); mit (x{a) bezeichnen wir diejenige reelle Zahl, die dem Л-Element а durch den Charakter oc zugeordnet wird. Sind л und ß zwei beliebige Charaktere, so erhält man einen weiteren Charakter у = л + /5, indem man für beliebiges a<^ А durchweg y(a) == a{a) + ß{a) setzt. Die Charaktere von А bilden also selbst eine Abelsche Gruppe, die Charakterengruppe A.

Es sei jetzt %, a^, ag,.. . ein abgezähltes Erzeugendensystem von A^ A^ bedeute die Gruppe (a^, a^^. .., aj; unter A^ möge der Annullator von A^ verstanden werden, also die Gruppe aller der Charaktere л, die für jedes Ь < A^ der Gleichung (x{b) = 0 nügen. Dann ist der Durchschnitt aller A^ gleich der Nullgruppe, und es ist A^ == A/A^ für jedes i zur Charakterengruppe von A^ isomorph ^^) und damit eine endliche Abelsche Gruppe. Ist ferner in А ein verträgliches Kongruenzensystem x ^ лДА^) (i == 1, 2,...) vorgelegt, so erhalten wir durch die Festsetzung

( x { b ) = лДе), wenn b <: Ai

einen eindeutig und widerspruchsfrei definierten Charakter (X, der offenbar eine Lösung des gegebenen Kongruenzensystems darstellt. Das heißt aber:

^^ ) Die Beschränkung auf den primären Fall, die natürlich wieder keine wesentliche Beeinträchtigung der gemeinheit darstellt, wird in Zukunft nicht mehr ausdrücklich hervorgehoben.

5^ ) Die übliche, für beliebige Abelsche Gruppen gültige Definition. In unserm Falle allerdings wird А durch

q jeden Charakter ^(A) speziell auf eine aus ra^immlen Zahlen der Form -j bestehende Grappe (mod 1) abgebildet,

und wir könnten statt von einem „Homomorphismus auf die Gruppe der reellen Zahlen mod 1" ebensogut von einem „Homomorphismus auf eine feste zyklische Gruppe des Typus Up / Шр' reden. (Bezeichnend für den rein ischen Charakter unsrer Untersuchungen!) 62) Vgl. Pontrjagin'), S.366ff.