Haupt , Über Koniinua mit unvoUständigrn loJialen îlalbspkantenmengpu. 233

Dies ist nicht mehr richtig, wenn in überabzählbar vielen Punkten nicht schw.

Sek . Unv. besteht (Beispiel: Sinusoid).

1 . 6. Über den Satz in Nr. 1. 5 hinaus ergibt sich schließlich (Nr. 3. 5. 1) der Satz. Jedes ebene Kontinuum mit beinahe überall schwach unvollständigen lokalen

Halbsekantenmengen ist eine reguläre Kurve und zugleich erbliche Bogensumme.

1 . 7. Die in Nr. 1. 3, 1. 5 und 1. 6 angegebenen Sätze (Singularitätensatz, Satz von der Regularität und von der erblichen Bogensumme) gelten im wesentlichen ändert für Kontinua im euklidischen Д^ mit гг ^ 3, sobald man den Begriff der schwachen Unvollständigkeit der lokalen Halbsekantenmengen für /г ^ 3 geeignet erklärt. Eine solche Erklärung der schw. Sek. Unv. ist beispielsweise diese: Für eine hinreichend kleine Kugelumgebung U des Punktes P von Ä soll US überdeckbar sein mit endlich vielen, P-offenen (vgl. Nr. 2.1), untereinander P-fremden Sektoren, deren jeder 5-fremd ist zu Ä, und enthalten in einem konvexen Eckraum^); unter einem Sektor ist dabei zu verstehen der Durchschnitt der (n-dimensionalen) Kugel U vom Mittelpunkt P mit dem jP-offenen Kegel § (wobei ê Summe von Halbgeraden mit P als Anfangspunkt ist). Auf entsprechende Verallgemeinerung der Differenzierbarkeitssätze (Nr. 1.2; 1.4) sei hingewiesen.

Eine weitere Verallgemeinerungsmöglichkeit besteht darin, daß man die Sektoren ersetzt durch geeignete, P-offene, zusammenhängende Punktmengen, welche P mit der Begrenzung von U verbinden.

Auf alle diese Verallgemeinerungen wird hier nicht weiter eingegangen.

2 . Definition und Eigenschaften der betrachteten UnvoUständigkeitsbegriffe.

2 . 1 . Unter einem Sektor, genauer: unter einem P-offenen Sektor bzw. einem abgeschlossenen Sektor mit P als Zentrum verstehe man jede Menge von Punkten (r, cf) mit 0 ^ r < a, 9^1 < ç? < 9^2 bzw. mit 0 ^ г ^ a, (p^^ cp ^ cp^^^ wo r, 99 Polarkoordinaten mit P als Nullpunkt (r == 0) sind und 0 < a, 0 < 993 — 9?^. Durch 9^2 — 9^1 werde die Größe oder der (Öffnungs-)Winkel des Sektors gemessen; besondere heißt also der Seklor kleiner als jr, wenn (p^ — <Pi < ^- Weiter werden zeichnet: а als Radius, ferner r = a, 9^1 ^ 99 ^ ç?2 ^1^ (Kreis-)Bogen, weiter 0 ^r ^ a, (p = (Pi bzw. (p == 9^2 als Schenkel des Sektors und schließlich 0 ^ r < a, 0 ^ 99 < 2л; als die zum Sektor gehörige (offene) Kreisscheibe. Zwei (konzentrische) Sektoren heißen P-fremd, wenn ihr Durchschnitt nur das gemeinsame Zentrum P enthält. Ein (P- offener oder abgeschlossener) Sektor ê heiße 5-fremd zur Menge 5Л, wenn Ш keine Schenkelpunkte von ê enthält, ausgenommen P. Die Bezeichnungen P-offen, 5-fremd usw. übertragen sich auf Winkelräume, d. h. auf Punktmengen 0 ^ r, (Pi(l)(p^^)<P%'

2 . 2 . Wir sagen, es besitze Ш in P schwach unvollständige lokale sekantenmengen (schw. Sek. Unv.), wenn es eine offene Kreischeibe U mit P als Zentrum gibt derart, daß ШШ sich überdecken läßt mit P-offenen Sektoren, deren jeder U als zugehörige Kreisscheibe besitzt, kleiner als n ist und P-fremd zu allen übrigen (also Ä-fremd zu 50Ш).

Die Anzahl dieser überdeckenden Sektoren kann übrigens stets als endlich^ sogar kleiner als fünf angenommen werden. In der Tat: Es hei :^o eine von P ausgehende gerade, welche fremd ist zu U' = (fflîU -—(P))\ eine solche existiert bei schw. Sek. Unv. stets. Weiter sei Ш+ bzw. rt)~" derjenige P-offene Winkelraum, welcher vermöge Drehung von fjQ bei festem P um den Winkel + n bzw. — n erzeugt wird. Ist die zu I)o plementäre Halbgerade l)'^ fremd zu U', so enthält sowohl n:)+ als Ш" weitere derartige Halbgerade und die Überdeckung wird durch vier Sektoren geleistet; andernfalls ist Î)q

® ) Vgl. Haupt-Aumann, Differential- und Integralrechnung, Berlin 1938, I. Bi., S. 150. Journal für Mathematik. Bd. 185. Heft 4. 30