24 H a 88t y Invariante Kennzeichnung gcdoiascher Körper mit vorgegebener Galoisgruppe.

sei unter S ein beliebiger Vertreter aus © verstanden. Mit А@ sei die Elementanzahl von © bezeichuet. Die Anzahl der verschiedenen absolut-irreduziblen Darstellungsklassen, also der verschiedenen einfachen Charaktere % und Vertreter Г^^ ist gleich der Anzahl der verschiedenen Klassen ©; diese Anzahl sei mit r bezeichnet.

Die Charakterwerte %(ä) hängen nur von den Klassen © ab. Es bestehen die beiden Systeme zueinander komplementärer Orthogonalitätsrelationen

( 6 . 1 ) jZ^BX{S)y>{8-^) = e^_^,

( 6 , 2 ) -7Z^^X{S)xiT-') = e,

^<B , % ?

wo e^^y und e<^^x ^i^ Elemente der Einsmatrizen zu den Charakteren %, ip bzw. Klassen ©, % als Zeilen- und Spaltenindizes bezeichnen. Nach (6, 2) für 8 = 1, T = 1 besteht insbesondere die Gradrelation

( 6 , 3) ^ /I = g,

X

Den Orthogonalitätsrelationen (6, 1) für die Charakterwerte ;^(/S) liegen die gonalitätsrelationen

( 6 , 4) jZf. <(^) <ЧS-^^) = e,,^ e,, e,^

für die Elemente d^ (8) der Darstellungsmatrizen J.^ (8) zugrunde, die hier zu sogenannten Stellenspalten zusammengefaßt erscheinen; die Stellenspalten der Darstellung Г^^ sind die Elementspalten a^^(Ä) mit festem x "^^^ festem Stellenindexpaar i, к aus der Reihe 1, . .., f^ bei laufendem 8, Den komplementären Orthogonalitätsrelationen (6, 2) für die Charakterwerte entsprechen ebenso die komplementären Orthogonalitätsrelationen

für die Elemente der Darstellungsmatrizen, die übrigens auch in der Form (6> 5') 7 Z /. Sp {Ä,{S) A,{T-^)) = e^. j,

X

geschrieben werden können und dadurch wegen Ay^{8) Ay^{T'^'^) = A^(8 T-'^) als Folge aus (6, 2) (mit y = 1, 8-^8 T"^) erscheinen.

Die zueinander komplementären OrthogonaUtätsrelationen (6, 4), (6, 5) können auch durch die folgende Aussage zum Ausdruck gebracht werden. Die aus den Elementen der Darstellungsmatrizen Aj^{8) zusammengestellte Matrix

/ ß ß4 л / i*/cf44 f/S Zeilenindex 1

( 6 , 6 ) А = («;*(«)) i;^;i,*.Spaltemndizes }

der sogenannten Stellenspalten, die nach (6, 3) g-reihig-quadratisch ist, ist regulär mit der transponierten Reziproken

1 / ^ _jfc * / i^_i Ч X {^ Zeilenindex 1

X\ iy h Spaltenindizes j.

Die ersten Orthogonalitätsrelationen (6, 1), {6, 4) ordnen sich den allgemeineren Relationen

( 6 , 7 ) A'-i=j(4a*'(Ä-^)) I'

( 6 . 8 ) \ Z fxX(S)v{T) = xili)\,, '

( 6> 9) - 7 ^^^ /. 4*('S) <4T) = <MÄ) e,., e,^