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В a er, Direkte Faktoren endlicher Gruppen.

und G' Normalteiler von G sind, so sind auch H und К Normalteiler von G. Weiter folgt aus (+), daß

0 ( G ) =H r^K

ist ; und wir erschließen aus der Definition von if, daß

0 ( G / G' ) =KIG' ist.

Ist nun и eine maximale Untergruppe von G, die N nicht enthält, so ist G = UN und и wegen (+) ein Normalteiler von Primzahlindex in G. Folglich wird GjU == UNjU ^ NI(U ^ iV), so daß also U r^ N ebenfalls eine maximale Untergruppe von N ist. Mithin haben wir 0(iV) '=^ U r\ N. Folglich enthält jede maximale Untergruppe von G entweder Л^ selbst oder wenigstens 0(iV); damit haben wir Ф{N) ^ Ф(С), die erste Behauptung von Lemma 1, nachgewiesen.

Da H der Durchschnitt aller N enthaltenden maximalen Untergruppen von G ist, so folgt aus der Definition von Ф sofort, daß

( 1 ) • (i>{GlN)=HlN

ist . Aus N^H und dem Dedekindschen Modulsatz folgern wir weiter:

( 2 ) NФ{G) = N(H r^K) =H r^ NK.

Da К der Durchschnitt aller С enthaltenden maximalen Untergruppen von G ist, und da G' enthaltende maximale Untergruppen stets Normalteiler von Primzahlindex sind, so ist GjK eine abelsche Gruppe, deren sämtliche Elemente quadratfreie Ordnung haben. Daraus folgt insbesondere, daß jede Untergruppe von G/K direkter Faktor von GjK und direktes Produkt zyklischer Gruppen von Primzahlordnung ist. Es folgt insbesondere, daß die Untergruppe NKjK von GjK Durchschnitt der sie enthaltenden maximalen Untergruppen von GjK ist. Jede dieser maximalen Untergruppen enthält H^ da diese N enthalten und H Durchschnitt aller maximalen, N enthaltenden Untergruppen ist. Wir haben also gezeigt, daß

( 3 ) H^NK

ist . Kombination von (1), (2) und (3) ergibt schließlich:

ф ( GjN ) = HjN = (H r^ NK)jN = N0{G)jN, womit Lemma 1 vollständig bewiesen ist.

Bemerkung . Es läßt sich zeigen, daß Lemma 1 auch noch gilt, wenn N ein im Hyperzentrum enthaltener Normalteiler von G ist, da dann (+) gilt. Machen wir jedoch über den Normalteiler keine weiteren Annahmen, so werden die Beziehungen zwischen Ф(С), Ф{Щ und Ф(GjN) recht kompliziert, wie einfache Beispiele zeigen.

Wir definieren nun die iterierten Ф-Untergruppen induktiv durch die folgenden Regeln :

Фo { G ) =G , Фг^ЛG)= Ф[Фi(G)]. Es ist klar, daß Ф{G) = Фl(G) ist, und daß die Фi{G) eine absteigende Folge ristischer Untergruppen von G bilden. Da aus G Ф 1 stets Ф (G) < G folgt, so muß die Reihe der Ф| nach endlich vielen Schritten mit 1 enden.

Folgerung . Aus N ^ Z(G) folgt ФДЯ) < Ф<(С) für alle i.

Beweis . Unsere Behauptung stimmt natürlich für i =0. Gilt Ф<(iV)gФf{G) für irgendein i, so folgt aus Ф<(Л^) g N ""^ZiG), daß Ф.(iV) ^ Z [Фi{G)] ist und wir also Lemma 1 anwenden können. Folglich wird

^i , i { N ) = Ф[Ф,^] < Ф[ФДС)] = Ф,,,(С); und nun folgt unsere Behauptung durch vollständige Induktion.