st Öhr, Basen der natürlichen Zahlenreihe. I.

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Die erste dieser Ungleichungen folgt daraus, daß jede Abschnittsbasis A-ter Ordnung für n nach Weglassen des vielleicht darin enthaltenen Elements n eine Abschnittsbasis Ä-ter Ordnung für n—1 ist. Die zweite der Ungleichungen folgt daraus, daß jede schnittsbasis A-ter Ordnung für n — 1 nach Hinzufügen der Zahl n eine Abschnittsbasis A-ter Ordnung für n ist.

Abschätzungen der Funktion kh{n) gibt Rohrbach [5]. Zwischen den Abschätzungen von kh{n) nach unten und oben klaffen ähnliche Lücken wie zwischen den in § 2 und § 3 mitgeteilten Abschätzungen.

Die Untersuchung von kh{n) kann auf die Untersuchung einer anderen Funktion zurückgeführt werden. Seien nämlich h und к vorgegebene natürliche Zahlen. пн{к) sei die größte Zahl гг, zu der es eine aus /с + 1 Zahlen

( 21 ) а^ = 0<^а^ = i<a^<- '<au

bestehende Menge % so gibt, daß jede der Zahlen 0, 1,. . ., дг als Summe von h Summanden aus 51 dargestellt werden kann (Rohrbach [5])^).

Die Funktion Пь,(к) hat die Monotonieeigenschaften щ{к + i) > Пп{к) sowie ^h+iik) > Пн(к) für /с ^ 1. Sie ist in gewisser Weise die Umkehrfunktion von кн(п); denn ist Щ = Пп{Ю, so ist кп{щ) = k^, кп(щ + 1) == ^o + 1.

Eine Menge 91 von Zahlen (21) heiße eine zu Ä, к gehörige extremale basis, wenn jede der Zahlen 0, 1, . . ., aiä(ä:) als Summe von h Summanden aus 9t gestellt werden kann, mit anderen Worten, wenn 91 eine Abschnittsminimalbasis Л-ter Ordnung für щ(к) ist. Für eine extremale Abschnittsbasis muß щ(к) ^ ak gelten. Denn wäre пн(к) < ajc, so ersetze man in 9t die Zahl ajc durch die (sicher nicht in 9t liegende) Zahl щ(к) -\-1. Die durch diese Ersetzung aus 9t entstehende Menge % hätte dann die Eigenschaft, daß 0, 1, . . ., щ(к) + 1 als Summen von h Summanden aus Ж darstellbar sind, was der Extremaleigenschaft von nh(k) widerspricht. Ferner müssen für jede male Abschnittsbasis 9t die Ungleichungen

( 22 ) a^ ^ Ла;,_1 + 1 für i ^ к ^k

gelten . Wäre nämlich af(> b == ha^-^ + 1 für ein к mit i ^ к ^ k, so wäre b nicht Summe von h Summanden aus 9t; denn da alle solchen Summanden selbst ^ è, also < a«, also ^ a^^i sein müßten, könnte die Summe von h solchen Summanden höchstens den Wert ha^-i = b — 1 ergeben. Also wäre Пн(к) <b < a^ ^ aje^ was der oben senen Ungleichung пн(к) ^ Uk widerspricht. — Da es nun bei gegebenem h und к nur endlich viele Mengen von Zahlen (21) mit der Eigenschaft (22) gibt, so kann man nh(k) und alle zugehörigen extremalen Abschnittsbasen immer durch Durchprobieren dieser endlich vielen Mengen ermitteln.

Offenbar ist nh(i) = h\ die einzige zugehörige extremale Abschnittsbasis ist 9t = {0, 1}. Ferner ist n-^{k) = k; die einzige zugehörige extremale Abschnittsbasis ist 9t z= {0, 1, . . ., Ä}. Wir wollen noch

( 23 ) nh(2) = I r

beweisen und alle zugehörigen extremalen Abschnittsbasen bestimmen. Sei dazu 9t die aus den Zahlen 0, 1, а bestehende Menge, wobei mit Rücksicht auf (21), (22) sogleich

в ) n^(fe) existiert, da die n mit der genannten Eigenschaft offenbar eine gemeinsame obere Schranke besitzen. - - Man kann für die Definition folgende Einkleidung geben: к Arten von Münzen sollen auf passende ganzzahlige Beträge von %, ttg,..., ttjfc Mark lautend so geprägt werden, daß man jeden Betrag von 0,1,..., n^(Ä;) Mark unter Verwendung von höchstens h dieser Münzen bezahlen kann; dabei soll nf^(k) maximal sein.