Mitas , Primpolynomzerlegung in endlich vielen Schritten.

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Beweis von Satz 2b. Sei /(C) — /(f, b) das mit seiner Ableitung teilerfremde, über К = Q(è) in Primpolynome zu zerlegende Polynom.

Wir erweitern Q durch Adjunktion einer Unbestimmten т zu Q(t) und bilden die Algebra 21 = K(r)[^] mod j{rj). Das Element (rj + rb) mod f(rj) ist dann erzeugendes Element von 31/Q(t). Dies ist nach dem Satz vom primitiven Element klar, falls % ein Körper ist; einen Beweis für Algebren findet man in [4], § 3, 1. Das Element (^ + ^й) mod /(97) ist dann Nullstelle des Polynoms

( 1 ) i^(C)^F(C,T)=.A^K/^(/(C-Aè)

über Q(t) (Beweis in [4], § 3, 4). Die Norm ist dabei als die Determinante der regulären Darstellung erklärt*

Nun ist die Algebra 31/К(т) regulär-separabeP), weil j{y]) mit seiner Ableitung teilerfremd ist ([4], § 1, 2). Da K(t)/Q(t) ebenfalls regulär-separabel ist, ist auch 91/Q(t) regulär-separabel ([4], § 2, 5) und somit F(C) mit seiner Ableitung teilerfremd ([4], § 1, 2).

Durch Benutzung von [4] wird folgendes erreicht: Es wird nicht nur ein Verfahren angegeben, mit ihrer Ableitung teilerfremde Polynome aus К [С] über К in endlich vielen Schritten in Primpolynome zu zerlegen, sondern auch der Beweis, daß dieses Verfahren zum Ziele führt, wird in endlich vielen Schritten geführt.

Da i^(C) mit seiner Ableitung teilerfremd ist, läßt sich voraussetzungsgemäß (unter Benutzung von Satz 2a) das Polynom _F(f) über ß(r) in Primpolynome zerlegen:

( 2 ) F(C)=i^i(C)---F,(C). Mit den Polynomen

( 3 ) /,(C)= (/(C-те), 7^,(0) (i=l,...,r) gelten dann die beiden Relationen

( 4 ) f(C-rè)=/i(0---/,(0 und

( 5 ) i^,(0 = л^ (A(0) (i = i,...,r).

Beweis çon (4). Da F{C) mit seiner Ableitung teilerfremd ist, sind die Polynome f.(^) (i = 1, . . ., r) als Teiler von F(C) paarweise teilerfremd. Daher folgt aus /г(0 |/(C — rb) die Relation /i(C)"*7r(0l/(C—т^Ь). Anderseits folgt aus den mit gewissen Polynomen аДС), &г(С) bestehenden Gleichungen аДС)/(C —т6) + 6,(C) i^t(C) =/e(C) (i = 1, . . ., r) durch MultipHkation unter Benützung von /(C — rb) \ F(C) (siehe dazu [4], § 3, 4) die Relation f(C — rb) \ /JC) • • • /ЛС).

Beweis çori (5). Aus 1^(0 \ Р^{С), /ЛО I Л^к/й (/i(0) und der Irreduzibilität von F,(C) über Q(t) folgt F,(C) \ N^/ç, (/ЛО). Hieraus folgt wegen (1), (2) und (4) die hauptung (5).

Aus (5) folgt aber, daß die Polynome /г(С) inkonstant und irreduzibel sind; mit

( 6 ) f{0 = fAC + rb)'''fAC + rb)

ist somit die Primpolynomzerlegung von /(C) gewonnen.

2 ) Über den Begriff „regulär-separabel" siehe [4], § 1,1. Bei kommutativer Algebra Ж fallen die Begriffe „separabel" und „regulär-separabel" zusammen, wie bei Kenntnis des 1. Wedderburnschen Struktursatzes schwer einzusehen ist. Wird der Begriff „separabel" wie in [5], § 2,1 definiert, so ist ohne weiteres einzusehen, daß für Algebren, die von einem Element erzeugt werden (um diese handelt es sich hier ja), die Begriffe „separabel*' und „regulär-separabel" zusammenfallen.