Sade , Quasigroupes automorphes par le groupe linéaire et géométrie Unie. 107

9 . Corollaire. Si d est un facteur premier de /г, pour que Vensemble (0, d, 2d, . . ., n—d) soit diçiseur normal de Ç( x), quasigroupe d^ordre n automorphe par le groupe linéaire de Z/n^ il faut et il suffit que:

d\ d"^ d'" • ' • étant les diviseurs de n, premiers avec d, y compris Vunité.

Preuçe . Si d est premier, comme a — 6 est plus petit que d, la somme a—b-\- (m—p) d, avec a Ф &, ne pourra jamais être divisible par d. Donc le PGCD de n et de a—b + (m—p)d sera premier avec d; d'où la condition énoncée.

Exemple . n=i5, /(1) =. ^^^^ == 2, ^^? = ^^ d = 3.

Ç est défini par/(д^):(х-.а;хО)-:(0) (1,2,4,8) (3,12) (5, 10) (6, 9) (7, 14, 13,11). Le

sous - quasigroupe (0, 3, 6, 9, 12) est diviseur normal. Mais, pour d = 5, le sous-quasigroupe

/ ( 3 ) (0, 5, 10) n'est pas normal puisque /(1) ф -^ . Si l'on divise par 3 les éléments du diviseur

normal , on trouve le quasigroupe (0, 1, 2, 3, 4) défini par f(x) = (0) (14) (23), qui est morphe par le groupe linéaire de Z/5. Le quasigroupe quotient est le quasigroupe idempotent du 3^"^^ ordre.

10 . Quasigroupe quotient. Si

R = (0, d, 2d, . ..,n — d)

est dii^iseur normal du quasigroupe Q(x) d^ordre n, automorphe par le groupe linéaire (x ->mx + h) de Z/n,

( i ) chaque roset

Rt = (t, t + d, t + 2d, . . ., t + n — d)

est encore diçiseur normal;

( ii ) les valeurs de t forment un système de représentants et le quasigroupe quotient Q/R, constitué par les éléments t, a même loi de composition que Qj (mod. d).

Preuçe . (i) Soit d un diviseur de n tel que R == (0, d, 2d, ..., гг — d) soit un diviseur normal dans Q. Gomme Q est automorphe par T = {x -^ x + t), il en résulte que Д^, qui est l'image de R par Г, est encore diviseur normal.

( ii ) On a vu plus haut que:

( md + a) X (pd + b) = qd + с (mod. n)

avec c = a X b (mod. d); désignons le coset R^ = (t, t + d, t + 2d, t + 3d, . . ., t + n — d) par la valeur correspondante de t. Puisque a x b = с (mod. d), le quasigroupe quotient Q/R est défini par la même loi de composition que Q, le produit étant calculé, modulo d.

Dans l'exemple du № 8, л = 245 ==Ь*1^, faisons:

a xè==2(a —è) + * si (a —&, 7) = 1, axb = 3{a — b) + b si (a —è, 7) = 7, donc

/ ( 1 ) /(5) _ о 1 = 5-^-

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