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В a er, Normierte Funktionenalgebren.

eine Treppenfunktion, so sind nur endlich viele dieser Mengen nicht leer. Jede dieser Mengen ist dann also offen als das Komplement einer Summe endlich vieler abgeschlossener Mengen. Für Treppenfunktionen sind also diese Mengen f~^{k) sämtlich randlos. Darüber hinaus gilt das

Lemma 4. 2: Ist t eine Treppenfunktion aus F und /c Ф 0 eine Zahl aus ÜT, so ist t~^(k) kompakt und randlos.

Beweis : Als Treppenfunktion nimmt t nur endlich viele von 0 verschiedene Werte aus К an. Der Minimalwert ihrer Absolutbeträge werde mit m bezeichnet. Dann ist 0 < m und aus \t{p) \ < m folgt t(p) = 0, Unter Ш verstehen wir die Gesamtheit der Punkte r mit ^(r) ф 0. Da ^ nur endlich viele verschiedene Werte annimmt, und da jedes t^^{k) randlos ist, so ist auch 9ï randlos. Da i zu F gehört, so gibt es eine randlose pakte Menge Ш derart, daß

\t ( p ) \<m für p in Х~Ш

gilt . Nach Wahl von m folgt daraus sogar t(% — W) = 0 und hieraus ergibt sich dt ^Ш. Ist /с Ф 0 eine Zahl aus if, so ist also t-^{k) ^di ^Ш. Randlose Teilmengen kompakter Mengen sind aber kompakt, womit Kompaktheit und Randlosigkeit von t~^(k) bewiesen ist. Ist e = e^ eine idempotente Funktion aus F, so kann e nur die beiden Werte 0 und 1 annehmen, ist also eine Treppenfunktion. Es folgt dann aus Lemma 4. 2, daß die heit der Punkte p mit е()з) = 1 eine randlose kompakte Menge ist.

Zusatz 4. 3: Sind Ai, . . .^ kn die sämtlichen çon 0 verschiedenen Werte der funktion t aus F, so gibt es eindeutig bestimmte, paarweise orthogonale, idempotente Funktionen

n

ei aus F mit t = JS^i^i-

г = 1

Beweis : Aus Lemma 4. 2 folgt, daß t~'^{ki) für i = 1, . . ., тг randlos und kompakt ist. Die Funktion e^, die überall auf t~'^(ki) gleich 1 und sonst 0 ist, gehört also zu F. Aus der Verschiedenheit der /c, folgt, daß die e, paarweise orthogonale idempotente Funktionen

n

sind ; und aus der Konstruktion der e,- folgt sofort t = 2Jf^i^i-

г = 1

Diese kanonische Darstellung der Treppenfunktionen wird sich oft als nützlich erweisen.

Da idempotente Funktionen nur die Werte 0 und 1 annehmen können, so sind sie natürlich mit allen Funktionen aus F vertauschbar, liegen also im Zentrum von jF. Da aber К nicht kommutativ zu sein braucht, kann eine entsprechende Bemerkung über die Treppenfunktionen selbstverständlich nicht gemacht werden.

5 . Das Treppenideal.

Unter einem Ideal aus F werde eine nichtleere Teilmenge L von F verstanden, die den Bedingungen

L = L±L = KL und FL+ LF ^L

genügt . Dies ist also genauer ein zweiseitiges iiT-Ideal aus F. Dagegen verlangen wir nicht, daß L in der durch die Norm in F definierten Topologie abgeschlossen ist.

Jede Teilmenge von F erzeugt ein Ideal aus F: das kleinste diese Teilmenge haltende Ideal aus F. Insbesondere erzeugen die idempotenten Funktionen aus F ein Ideal /. Dieses wird natürlich auch von den Treppenfunktionen aus F erzeugt und möge deshalb das Treppenideal çon F genannt werden.