Baer , Normierte Funkhoenalgebren.

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Aus I folgt sofort die schwächere, fur unsere Zwecke aber ausreichende Bedingung

I * Jedes maximale Ideal aus Л, das nicht alle idempotenten Elemente enthalt^ ist Kern eines stetigen Epimorphismus çon A auf К

Es wird sich spater sogar erweisen, daß I eine Folge von I*, II und III ist

Aus (7 1**) folgt, daß die m I und I* postulierte Stetigkeit von Epimorphismen sogar deren Beschranktheit nach sich zieht. [Den Hinweis auf die Möglichkeit, I und I* m der gegenwartigen schwachen Form zu postulieren, verdanke ich Herrn Dr V. Baumann ]

Im Gegensatz zu den fast standig benutzten Eigenschaften I* und II werden wir III nur am Schluß unserer Überlegungen benutzen. Die Eigenschaft III werde als if-Vollständigkeit bezeichnet Es sei bemerkt, daß fur jede Gauchysche Folge a^ aus A und jeden beschrankten Epimorphismus о von А auf К die Elemente a^ eine Gauchysche Folge aus К bilden. Ware, was wir aber nicht voraussetzen, der bewertete Korper R vollständig, so folgte (b) aus (a). Naturhch sind die Bedingungen (a) und (b) fur die Existenz des Grenzwerts notwendig

Satz 8. li Ist К em bewerteter Körper^ % ein lokal-kompakter^ null-dimensionaler topologischer Raum und F(K^ %) die [im § 3 eingeführte] normierte K-Algebra der im Unendlichen (verschwindenden stetigen K-wertigen Funktionen über %^ so genügt F{K, %) den Bedingungen I bis III

Beweis Daß F ^ F(K^%) eine normierte if-Algebra im Sinne des § 7 ist, haben wir schon erwähnt Ist M em maximales Ideal aus F, so folgt aus Satz 6. 2, daß M = p^ fur einen eindeutig bestimmten Punkt p aus % ist und daß also M der Kern des stetigen if-Homomorphismus von F auf К ist, der das Element / aus F auf die Zahl f(p) aus К abbildet, vgl. (6 0). Damit haben wir schon I verifiziert. Die Gültigkeit von II ergibt sich durch Kombination von Satz 4 1 und Zusatz 4. 3.

Schließlich sei uns eine Gauchysche Folge a^ aus F gegeben, die noch die weitere Eigenschaft hat, daß fur jeden stetigen Epimorphismus a von F auf К die Folge der a^ gegen einen Grenzwert aus К konvergiert. Ist p ein Punkt aus Î, so ist die Abbildung von / aus F auf f{p) ein solcher stetiger Epimorphismus. Also existiert der Grenzwert der Folge at(p) fur jeden festen Punkt p aus % Wir wollen diesen Grenzwert mit a(p) bezeichnen. Dann ist a eine eindeutige, if-wertige Funktion über Î; und diese Funktion a ist der Grenzwert der Funktionen a,. Die Konvergenz ist wegen

I a^(p) — aj(p) I ^ II a, — a, ||

gleichmäßig , und hieraus folgern wir die Stetigkeit und das Verschwinden im lichen von a, d. h. die Zugehörigkeit von a zu F wie auch a = hm a,.

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Wir werden m den nächsten Paragraphen zeigen, daß umgekehrt auch alle if-Algebren mit den Eigenschaften I bis III sich m der Form F(K,%) darstellen lassen.

Zusatz 8.2: Jede dwisionsabgeschlossene Teilalgebra V i>on F{K^%) genügt den Bedingungen I* und II

Beweis : Es ist eine Folge von Satz 6. 2, (b), daß jedes nicht alle idempotenten Elemente enthaltende maximale Ideal aus V die Form p^' [fur einen eindeutig bestimmten Punkt p aus %] hat; und diese Ideale sind, wie schon mehrfach bemerkt, Kerne stetiger if-Epimorphismen von V auf %. Also gilt I*. Da ^(if, %)^V < F(K, %) ist und da T wegen Satz 4. 1 und Zusatz 4. 3 in i^ dicht ist, so ist T auch m V dicht, womit auch II verifiziert ist.

Journal fur Mathematik Bd 204 Heft 1/4 ^