в a er, Normierte Funktionenalgebren,

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Wäre t in M enthalten, so läge a-— t\n M + a; und wir könnten aus obiger Ungleichung den Widerspruch

1 = \(a~tr\ ^ \\a — t\\ <i

erschließen . Also liegt t nicht in M, so daß auch T i^ M gilt.

( 9 . 4) Enthält keines der maximalen Ideale M und N alle idempotenten Elemente aus A, ist aber jedes in M enthaltene idempotente Element auch in N enthalten^ so ist M = N.

Beweis : Wäre dies nicht wahr, so wäre insbesondere M ^|5 N und es gäbe also ein nicht in N enthaltenes Element a in M, Da AjN wegen I* ein im wesentlichen mit К identischer Körper ist, so folgt aus iV + ö^ Ф 0 die Existenz einer Zahl к aus К derart, daß k{N + a) die Eins des Körpers AjN ist. Wir setzen ka= b und bemerken, daß M + b = OundN + b = i ist.

Aus II folgt die Existenz eines || ^ — b \\ < | erfüllenden Elements t in T. Wegen (9. 2) gibt es Zahlen кг Ф 0 in К und paarweise orthogonale idempotente Elemente e^ in А

n

mit t = ^^кгСг. Wäre t in N enthalten, so wäre 1 = Л^ + (^ — è). Wegen I* gibt es eine

г = 1

stetige epimorphe Abbildung g von A auf К mit Kern iV, bei der natüriich 1 in 1 geht. Also wird wegen (7. 1) und (7. 1**)

i = \{t-bY\^\\t-b\\<i-

und dies ist unmöglich. Da mithin t nicht in N liegt, so ist wenigstens eines der e^ nicht in N enthalten. Wir setzen dieses e^ = e und entsprechend k^ --~ h. Da e nicht in К liegt, so folgt aus unserer Voraussetzung, daß e auch nicht in M liegt. Da AjM und A/N wegen I* Körper sind, so wird M -\- e = i und N + e = l, Dae4=0 ist, und da II e II = II ^2 II ^ II g ||2 g^yg § 7, 4 folgt, so wird || e || = 1. Schließlich ist e = eei und eej = 0 für i Ф j. Aus all diesem folgt

n

\\be — he\\= \\be — eZkjej \\= \\e{b— t) \\^\\e\\\\b— t\\ <l,

7 = 1

Bedenken wir weiter, daß N-\-b = \. = N^ e ist, so wird N-\- {i — h) e = N-\-be — he und also

|1—Л I- I [(1—Ä)e7 I- \{be~heY\ ^ \\be — he \\ <|.

Bezeichnen wir andererseits mit r den nach I* existierenden stetigen Epimorphismus von А auf A", dessen Kern M ist, so folgt aus ilf + è = 0 und M -\- e = i entsprechend

| / г I =^ |_Л I == \{--hey \^\(be -heY\ S \\be—he \\ < f.

Kombination dieser beiden Ungleichungen ergibt dann den gesuchten Widerspruch

1=|1_Ä + Ä|^|1—/г|+|Л|<1,

aus dem wir M = N erschließen.

Wir können (9. 4) etwas symmetrischer auch folgendermaßen formulieren:

( 9 . 4*) Sind M und N zwei ^verschiedene maximale Ideale aus A, die beide T nicht enthalten^ so gibt es ein in J/, aber nicht in N enthaltenes idempotentes Element,

Wir wenden uns schließlich der Berechnung der Normen der Elemente aus T zu. Diese beruht wesentlich auf der folgenden teilweisen Nicht-Archimedizität der Norm.

( 9 . 5) Sind a und b Elemente aus A, und gilt ab = ba = 0^ so ist

||a + è|| = max[||a||,||H|].

8 *