Pi ni, Lineare Übertragungen mit fallweise konstanter Torsion.

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In A^ verschwindet t^ß identisch. Da es sich um einen Tensor handelt, ist diese Eigenschaft vom Koordinatensystem unabhängig. Wir fragen im folgenden nach Bedingungen, unter welchen die Komponenten t^ß in einem geeigneten Koordinatensystem auf nicht gesamt verschwindende Konstante c^ß transformiert werden können. Man kennt das analoge Problem aus der Theorie regulärer Riemannscher Räume F„ vom metrischen Fundamentaltensor gaß(Xi^ . . ., Xn) mit \ gaß\ Ф 0 und den Satz: der reguläre mentaltensor gccß läßt sich genau dann auf nicht insgesamt verschwindende Konstante c^ß transformieren (mit | c^^ | ф 0), wenn der zu gaß gehörige Riemann-Christoffelsche mungstensor Д^^у verschwindet*). Diese Bedingungen charakterisieren unter den Riemann- schen F^, in vom Koordinatensystem unabhängiger Weise, die euklidischen Räume E^, Der zu gaß gehörige affine Zusammenhang ist symmetrisch und durch die Christoffeischen

Klammern zweiter Art < ^> gegeben :

{ ( Xß )

( 5 ) И^- 2'^ïo ocß] - - ^'^ i^^ 4- -^ _ ^M\ -I ^\

^ Uß) " ^ ^^' ""P^- 2^ \ dXß ^ dXa dx, ) - Xßo^y

Wir versuchen im folgenden dieses in der Theorie regulärer symmetrischer kovarianter Tensoren zweiter Stufe bekannte Resultat für die Theorie des Torsionstensors t^ß einer L^ nutzbar zu machen, indem wir von den asymmetrischen Komponenten F^ß ausgehen und mit Hilfe der Torsions- und eventuell auch der Krümmungskomponenten (3) und (4) geeignete symmetrische kovariante Tensoren zweiter Stufe aufbauen. Wir nennen die so entstehenden Tensoren assoziierte Tensoren, die durch sie repräsentierten Riemannschen Räume assoziierte Riemannsche Räume und die zugehörigen Riemannschen gungen assoziierte Riemannsche Übertragungen.

Unter die zu t^ß assoziierten Tensoren fällt auch der kovariante Torsionsvektor tß = t\ß^). Für ^ = 2 bestimmt umgekehrt tß auch ^^^, denn man hat t^ = tl^^ t^ = ^Jg- In diesem Falle gilt®): die Torsion t^ß eines Lg kann dann und nur dann auf konstante nicht insgesamt verschwindende Komponenten transformiert werden, wenn der vektor tß ein Gradient ist. Wir setzen also weiterhin n ^3 voraus.

§ 1. Assoziierte reguläre Riemannsche Räume.

Neben dem Torsionsvektor tß ergibt sich aus den Komponenten t^ß durch schiebung in einfacher Weise der symmetrische kovariante Tensor zweiter Stufe')

( 6 ) Saß — ^ocfi^X — §ßa-

Für n = 2 gilt stets \ gocß\ = 0. Für n ^3 können reguläre wie singulare Fälle auftreten. Im regulären Falle existiert die assoziierte Riemannsche Übertragung (5) mit dem Krümmungstensor

^^^ ^'^^~ dxl ~dx, +w}w} w/wj-

Damit ergibt sich das bekannte Resultat^):

* ) Vgl. R. Weitzenböck, Invariantentheorie, Abschnitt XIII, § 15; Groningen 1923. 5) Vgl. G. Vranceanu, Leçons de Géométrie Différentielle I, Ch. IV, p. 191 ; Bukarest 1967. *) Vgl. M. Pint, On affinely connected manifolds whose torsion can be transformed into constant ponents. Wird in Proc. of the American Mathematical Society, Vol. 11. No. 3, June 1960, erscheinen. ') Vgl. 5).