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Berger , Ganzer Differentialmodul bei Primzahl Charakteristik.

Dazu betrachten wir die Ringe S^ == Sj^m-i und s' = s + ^m^il^m-i- S' ist ein diskreter Bewertungsring von K' mit den Primidealen

* >•••> ^; > Wm-l = (0), Щ = w*.n-i.

Außerdem ist s'= S' r. k\ K' = k'{x% ^^ = ^' • (^; r^ 5') und ^7^; = 5' + $;/^;.

Es seien г/', ж^', a^, g^' die Restklassen der ungestrichenen Elemente mod ^^_i. Dann gilt: x[ — a[ =g[ • x[j^^ für alle i, g[ (i^'^ns s\ a[ 6 s', Nach Satz 9 gibt es dann zu y'

ein i mit J/'€ (^'[ж^'])«^^, d.h. y' =-jy mit a', о'^5'[ж^'], Ъ'^^'^. Beim Übergang zu

Repräsentanten a, è € ^[rc*] bedeutet das: b - y — a^ ^w-i, & ^ ^n- Nun betrachten wir die Ringe R" = '5'ç|5^_^ und s" = «^^^_^- Es ist S'' ein diskreter Bewertungsring von К mit den Primidealen

* ; ' - ! ^•'• : - K^Wo - (0), ^r = ^"• %•.

Außerdem ist 5" = 5" r^Ä:'^ ^' = 5'7^;'-i, k' = 5" + ^î^'-i/^;'-!, ^' =- ^'(4) und (X' : /c') =(K:k). Daraus folgt 6"' = 5" [д^о] und

Aus 6 • Î/ — ad ^^_i g ^m-i ^^^S^ daher 6 • г/ — а == и - fix^) mit гг€ $^_i r^ s, f(X) ds"[X]. Ein Element aus ^" = <^«р^_т geht durch Multiplikation mit einem ment aus ^да_1^5 in ein Element aus s über. Es folgt w f{X) ds[X] und daher b • y — a € i?o ^ -Ri, also wegen a^b d Ri^ bi^n schließlich y € {Ri)^ . q. e. d.

ni . Der Differentialmodul einer Ringerweiterung. Voraussetzung. Es seien S^R zwei kommutatii^e unitäre Ringe mit derselben Eins.

Definition 4. Eine Derivation D von S über R ist eine Abbildung ifon S in einen anitären S-Modul M mit den folgenden drei Eigenschaften:

1 ) D{a + b) =D(a) + D{b)

2 ) D{a'b) =a'D{b) + b - D(a)

3 ) D{r) = 0

für alle a, b dS, r d R,

Der von den Bildern der Elemente von S bei D erzeugte S-Untermodul SDS von M heißt der Deriviertenmodul von S über R bezüglich D,

Anmerkung . Ist D eine Derivation von S über Я in M, Л eine 5-lineare Abbildung von M in einen iS-Modul L, so ist Л о Z) eine Derivation von S über R in L. Das gibt Anlaß zu der folgenden Definition:

Definition 5. Eine Derivation D von S über R heißt universelle Derivation von S über R, v^enn sich jede Derivation von S über R in der Form Л о D schreiben läßtj v^obei Л eine S'lineare Abbildung ist.

Dieser Begriff wurde von E. Kahler in [3] eingeführt. Zu der hier benutzten stellung vgl. [7]. Es ist klar, daß die universelle Derivation von S über ü, wenn es überhaupt eine solche gibt, bis auf 5-Isomorphie eindeutig bestimmt ist. Die selle Derivation heißt auch Differentiation von S über R, ihr Deriviertenmodul der Differentialmodul von S über R, Die Existenz und ein Konstruktionsprinzip der versellen Derivation werden in [3] gezeigt. Dort wird auch der Differentialmodul für endlich erzeugte ^Körpererweiterungen berechnet. Wir führen hier nur den folgenden Satz an, auf den wir uns in Kap. IV berufen werden.