Berger , Ganzer Differentialmodul bei Primzahlckarakteristik.

199

Vorbemerkung zum Beweis von Satz 12: Nach Satz 11 ist KDK ein raum der Dimension r über K, Da К Quotientenkörper [von S ist, läßt sich wegen

DWy - = - j^ ( b - Da — a • Db) jedes Element von KDK als Linearkombination von menten von SDS mit Koeffizienten aus К darstellen. SDS enthält also r über S linear unabhängige Elemente. Andererseits sind je г + 1 Elemente von KDK^ also auch von SDS^ über К und damit auch über S linear abhängig. Man hat so: Rg(SDS) = r. Nach Satz 5 und 6 ist dann S • DS ein torsionsfreier »S-Modul vom Rang r. Nach [5] ist, weil S ein maximaler Bewertungsring ist, S • DS dann direkte Summe von iS-Moduln vom

Rangl . Zusammen mit Satz8 ergibt das: S • DS = Ф Ф G^^ mit G^^S-щ,. Wir haben

also noch zu zeigen: Vj = /n^ für / = 0,. . ., гг. Wir führen den Beweis durch vollständige Induktion nach n,

2 . Beweis des Struktursatzes.

Wir beweisen Satz 12 durch Induktion nach der Stufenzahl n des diskreten wertungsringes. Dabei rechnen wir den Körper К als 0-stufigen diskreten Bewertungsring.

Induktionsbeginn : гг = 0. In diesem Fall ist der Satz trivial.

Es ist nämlich S = К und KDK ein Vektorraum der Dimension г nach Satz H. Außerdem ist /uq — r. S ist irgendein Oberkörper L von K. Es gilt dann:

S ' DS =L'DK = 0 G.0, GiQ ^ L. q. e. d.

t=i

Induktionsschluß : Wir nehmen an, der Satz sei für alle {n — l)-stufigen diskreten Bewertungsringe bewiesen. S sei ein гг-stufiger diskreter Bewertungsring mit den idealen ^n :^ • • • > ^1 > ^0 = (0), w ^ 1.

Wir betrachten dann den Ring S' — S^^ __^. Er ist ein [n — l)-stufiger diskreter Bewertungsring von К mit den Primidealen ^^' — iS' • ^^, i = n — 1,. . ., 0. Wegen

D L . ^\ = -l(è . Da _ а • i)6) ist S'DS' = S'DS in KDK. Nach Satz 4 ist S'DS = S'- DS

universelle ^"-Einbettung von SDS, Bezeichnen wir S^ = S-щ und ^^ = iS''^^, so hat man nach Satz 2 für die universelle iS'-Einbettung von S'DS:

S' • S'DS = S' - SDS = S' -S-DS ^ Ф Ф S' - Gu. Dabei ist offenbar

' [S%. für/ = w —2, ...,0.

Sei nun T irgendein {n — l)-stufiger diskreter Bewertungsring, der S' umfaßt und die

Bewertung von S' fortsetzt. Seine Primideale seien Cl«_i> • • • > Di> Oq = (0)- Es ist dann:

'T^_^ îiïv j==n, n~-i

T^ für/ = n-2,...,0. Da S' (n — l)-stufig ist, gilt nach Induktionsannahme;

Vf = 1л] für / = 0,. .., и — 2

" « + "«-1 =/*»-!•

T • S'DS' = T ' S'DS = Ф 'è T-Gu xrnà T- G„^