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S per пег, Äff ine Räume mit schwacher Inziäenz.

Die Geraden werden in folgender Weise als Punktmengen erklärt. Wir wählen einen liebigen Punkt ûa € S3 und einen beliebigen Vektor b € 5S aus und halten beide fest ; mit Hilfe eines über ganz © variabel gedachten Skalars Я bilden wir sodann die Punktmenge:

( 14 ) gaa,b = {cy e 93; cy = aa + ЬЯ, Я € ©}.

Diese Punktmengen g^^^ heißen Geraden. Zwei Geraden betrachten wir dann und nur dann als gleich, wenn sie als Punktmengen übereinstimmen. Die Menge der Geraden bezeichnen wir mit Ê.

Übrigens folgt aus (14) nach (7) für Я = o, daß stets

( 15 ) ûaÇg^^,^

gilt . — Den Punkt aa wollen wir den ^^Aufpunkt"' und Ь die j^Richtung"' der Geraden g^„,b nennen.

Der Punkt bd heiße mit der Geraden g^^^^ genau dann Inzident^ wenn Ьд 6gûa,b gilt; die Inzidenz ist also mit der Inklusion gleichbedeutend.

Eine Gerade g^^ j, heiße dann und nur dann parallel zur Geraden gi^^^i^ wenn Ь =^b ist, in Zeichen

( 16 ) gaa,b lkää,b^=^b -b.

Wir wollen weiter zeigen, daß unter Zugrundelegung dieser Erklärungen die Menge 9Ï = 33 w g ein affiner Raum ist, der die Postulate A 1 bis A 4 aus § 1 erfüllt. Zur bereitung dessen merken wir zunächst an, daß stets gilt:

( 17 ) cy €g^„^5^»H>ûa€g,y,b.

Diese Aussage ist nur eine andere Formulierung von В 3, wie sich unmittelbar aus der Definition (14) ergibt. Daraus ergibt sich weiter:

( 18 ) ^y ^ Saa,b -^ Saa,b = ?cy, b •

Denn die Voraussetzung ia (18) besagt nach (14), daß cy = aa + bß ist; daher folgt für einen beliebigen Punkt cy + bßi von g^y^ ^ nach В 4

cy + bßi = (aa + bß) + bßi - aa + Щ' mit geeignetem ß'. Dies bedeutet, daß gcy,b —?аа,ь ist. Wegen (17) gilt ebenso das gekehrte und mithin auch die Behauptung auf der rechten Seite von (18).

Nunmehr können wir sofort den Beweis von А 1 führen. Zu dem Zweck seien zwei verschiedene Punkte aa und cy gegeben. Wegen (18) können wir jedenfalls aa als Auf- punkt der gesuchten Geraden nehmen. Dann bleibt zu zeigen, daß sich ein b finden läßt, für welches cy € g^^^^^ gilt. Das bedeutet nach (14) die Lösung der Gleichung cy = aa + bß, welche nach В 2 immer möglich und wegen cy Ф aa nach (2) eindeutig in b und ß ist. Es gibt also eine und nur eine mit aa und cy inzidente Gerade, was zu beweisen war.

Daß auch die Aussage А 2 zutrifft, ist nach Definition der Geraden und der zidenz klar, weil sich in (14) für zwei verschiedene Я € © wegen В 2 und (2) sicher auch zwei verschiedene Punkte cy der Geraden ergeben.

Da durch (16) die Parallelität zweier Geraden auf die Gleichheit ihrer Richtungen zurückgeführt wird, sind die in А 3 geforderten Eigenschaften der Reflexivität und Tran- sitivität für unseren Parallelismus evident.

Um schließlich noch die Gültigkeit von А 4 klar zu machen, sei g^^^ ^ eine beliebige Gerade und cy ein beliebiger Punkt. Dann ist g^y^^ eine Gerade, welche nach (15) mit cy inzidiert und nach (16) zu g^^^^ parallel ist. Daß es nur eine solche Parallele gibt, folgt wiederum aus (16) und (18).

Es wird jetzt unmittelbar ersichtlich sein, wie die vorstehende Konstruktion zuändern ist, damit an die Stelle der Eigenschaften А 3 und А 4 die Aussagen А 3*, А 4* treten. Diese sind ja lediglich eine Abschwächung der ersteren, so daß man nur die obige