Cigler , Der individuelle Ergodensatz in der Theorie der Gleichverteilimg mod 1. 93

3 ) Die Menge / j, ist konvex und als abgeschlossene Teilmenge der (in der schwachen Topologie) kompakten Menge M(X) selbst kompakt. Daraus ergibt sich nach dem Satz von Krein-Milman ([7], S. 62), daß £y nicht leer und Ij, die konvexe Hülle ihrer Extremal- maße ist.

Jetzt kann Satz 1 verschärft werden zu

Satz 3. Das Maß ^ ^ I^ ist dann und nur dann ergodisch, wenn es kein invariantes Maß V Ф /Lt gibt^ das totalstetig bezüglich jll ist.

Beweis , Es ist nur noch zu zeigen, daß ja ergodisch ist, wenn die Relation v < fi in Irp nur für V = /j. erfüllbar ist. Angenommen, es wäre nicht ergodisch, dann gäbe es eine Darstellung

^ = Ai//i + ^1^21 M'i Ф/^2? //, € /у, 0 < Af < 1.

Es wäre dann aber jedes v der Gestalt v = JijLti + \i^2 totalstetig bezüglich //, was der Voraussetzung widerspricht.

Wir definieren nun den für das Folgende grundlegenden Begriff des maßes einer Folge.

Definition . Ein Maß /л Ç: M(X) heißt Verteilungsmaß einer Folge {xn} von Punkten aus X, wenn

lim -—^-v {f(x,) + f(x,) + • • • + f{xn)) = 1л{П

für jedes f^C{X) gilt.

Die Menge der Verteilungsmaße aller Folgen der Form [T'^x] bezeichnen wir mit F^..

Satz 4. Ist Vrp konvex und abgeschlossen^ dann ist V^ = /y.

Beweis , Es genügt zu zeigen, daß die Menge der Extremalmaße von V q, mit E^, übereinstimmt. Das läßt sich genau so wie bei Satz 2, 2) beweisen. Daß jedes ergodische Maß auch Verteilungsmaß ist, ergibt sich unmittelbar aus dem individuellen Ergodensatz.

Satz 5. Es sei F eine Menge von nichtnegativen Funktionen f mit der Eigenschaft, daß sich jede stetige Funktion auf X durch Linearkomposita von Funktionen aus F mieren läßt. Gibt es nun ein Maß ß^Ej, und eine Konstante c^i^ so daß die Relation

( 2 ) ihn -^ (f(x) + f(Tx) + --- + fiTox)) ^ cf,{f)

für ein festes x ^ X und jedes f ^F erfüllt ist, dann besitzt die Folge {T'^x} das Verteilungs- maß [Л,

А П

Beweis , Es ist folgendes zu zeigen: Aus (2) folgt, daß lim ---^—--2;'/(Г^а:) existiert

und für jedes f ^F gleich fA(f) ist. Denn ist das gezeigt, so ergibt sich die Behauptung des Satzes durch Approximation.

Es sei pn{f) == —^T i /(^^^)- I^^^^ i^^Pn{f)=Pn(fi) + ^^K- Die Menge der

n -f- i j^Q n -\~ l

Häufungsmaße der Folge p^{f) ist relativ kompakt. Sei n ein solches Häufungsmaß. Es gibt also eine Teilfolge p^^ mit lim p^^{f) = 7i{f) für jedes / ^F (vgl. [3]), Aus der aussetzung folgt n{f) ^ cix(f). Ferner ist n(f) =-- n{f^). Es ist also ti € 7^, л; < /i, und da ^ ergodisch ist, folgt л = p.. Es ist somit jedes Häufungsmaß der Folge

^^ (/o + /i + • • • + fn) gleich p. Daher existiert lim pn(f) und ist gleich p.