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Rangachari , Modulare Korrespondenzen und L-Reihen.

Teil III. § 6. Globale Artinsche L-Reihen.

Definition . Mit jedem Charakter x der Gruppe S definieren wir jetzt eine globale Artinsche L-Reihe wie folgt:

( 46 ) L{s, X. K^IR^) = П' L(s, X. K^I^n) •

p

Das Produkt läuft über alle Primideale P von Q(Cn)i die für Q(Cn) (J) einfach sind.

In diesem Teil betrachten wir den Fall einer Primzahlstufe N = q(^l). Wir weisen jetzt den

Satz 11 (Hauptsatz). Für einen einfachen Charakter x ^^^ ersten Typus çon S ist die entsprechende globale Artinsche L-Reihe L{s, x-> ^gl^g) ^^^^ meromorphe Funktion çon s und hat die folgende Form:

L ( s , X, KJR,) = 1(8)'п\ФМ\-'

г = 1

mit einer rationalen Funktion f{s) von p~\ Dabei ist \ 0^{s) \ die Determinante der Matrix 0.(s) = 0^(s^ rji) (Î = 1, . . ., g — 1) com Grade x {Vielfachheit der Darstellung D mit Charakter x ^^ ^^)i deren Elemente Dirichlet-Reihen sind., die den Spitzenformen com Grade — 2, Stufe g, Teiler 1 und Charakter rj^ des Inçariantenraumes der Darstellung D zugeordnet sind.

Bevor wir an den Beweis des Satzes gehen, fassen wir kurz einige Resultate von Hecke zusammen, die hier sehr oft benutzt werden. Die Beweise findet man in [5], IL

Aus der Struktur der endlichen Gruppe S '^Wi(q) folgt, daß ihre absolut irre-

q -}- i q — 1 duziblen Darstellungen D^ nur von der Dimension d = q, g+1, q — 1, --^—, ^-^—

oder gleich der Identitätsdarstellung sein können. Da wir uns mit den Formen vom

Grade —2 beschäftigen, haben die Identitätsdarstellung und im Falle q =3 (mod 4) die

Q + i Darstellungen der Dimension --^^—und im Falle q = i (mod 4) diejenigen der Dimension

л

? - =^ die Vielfachheit 0 in M'^.

Aus der Charakterentafel und der Struktur des Zentrums der Gruppenalgebra R{k) von S erhalten wir nach Hecke [5], II:

Satz 12. Die irreduziblen Darstellungen com Grade q, q + l, q — 1 sind vom ersten

flr -j- 1 (7 ------ 1 . . .

Typus . , und die irreduziblen Darstellungen der Grade --^—, ^—^ - {je zwei) sind com ten Typus,

Ferner sind die Charaktere x ^H^^* Darstellungen vom ersten Typus reell und Xq = X + Zî die Summe der beiden inäquivalenten Darstellungen gleichen Grades vom zweiten Typus, ist auch reell. Deshalb können wir die Betrachtungen von Teil II auf diese Darstellungen und Charaktere anwenden.

Jeder Invariantenraum G zu einer irreduziblen Darstellung D läßt sich in die direkte Summe G = E^-\- Eq von 2 Formen-Scharen vom Teiler 1 bzw. q zerlegen. Diese räume bleiben für Substitutionen aus der Untergruppe ^^{q) ^ rQ{q)ir^{q) von 90îi(g)

q—^1 invariant. E^ enthält nur irreduzible Darstellungen и^_^ vom Grade ^—^— von 50lo(g')j

2

und Eq nur irreduzible Darstellungen U^ vom Grade 1. Diese irreduziblen Darstellungen U verteilen sich auf diejenigen von Wi{q) wie folgt ([5], II):