Hart ter, Eine Verallgemeinerung des Basisbegriffs in der additiven Zahlentheorie. 209

Entsprechend wie für Minimalbasen 1. Art haben wir

Satz 10. Es gibt /jir Ж = @ = 3 = {0, 1, 2, . . .} und h ^2 keine Minimalsysteme 1. Art,

Beweis . Das System В = {93i, . . ., 35a} mit 33i = {0, 1}, ЗЗ2 = {0, 2}, . . ., Ън-г = {0, 2^-^}, 33. = {0, 2^~\ 2^2^-\г^2^-\ . . .}

ist Basissystem der Ordnung h für 3- Denn jede Zahl z € 3 mit t • 2^-^ ^ 2 < (^ + 1) 2^-^

( t = 0, 1, 2, . . .) ist darstellbar als 2 = i • 2^-i + r, wobei 0 ^ r ^ 2^^-! — 1 ist. Also

Л—1 hat г eine Darstellung r = 2! b^^\ 6^^^ € 93^.

Angenommen nun, ^0 = {^f\ ^2^\ •••5 ^D wäre Minimalsystem I.Art der nung h. Dann muß wegen der Minimaleigenschaft — eventuell bei passender Umbenennung der Indizes — 33^^ mit ЗЗ^, 93^^^ mit ЗЗ2,..., »f mit 93^ in allen Elementen ^ 2^-1 einstimmen. Sei nun schon bewiesen, daß Bq mit В in allen Elementen ^ t • 2*-i einstimmt (^^1). Enthielte Bq eine Zahl а mit t2^-^ <a<(t + i)2^-'^ als Element, so widerspräche das der Minimaldefinition. Andererseits muß aber wegen der Basiseigenschaft {t-\-i)2^-'^ einer Menge des Systems Bq angehören, und zwar muß (^+1)2^^-1 €33. sein, da sonst nicht alle Zahlen z des Intervalls (t + 1) 2^-^ < z < (t + 2) 2^-i mit Hilfe von (t + 1) 2^-1 und Elementen aus ЗЗ1, . . ., 33ä_i darstellbar wären. Also ist Bq = B. Daraus folgt 5o(|| ^ ||) = ^o(^) ^ ^^ i^ > 0? const.). Jedoch konstruierte Stöhr [14]

ein Basissystem £* der Ordnung h für 3 mit B^{n) =0(|/^), was einen Widerspruch ergibt.

Die Minimalbasisdefinitionen 2 und 3 von Stöhr [15] übertragen sich ebenfalls mühelos.

Definition 8. Ein Basissystem В der Ordnung h für Ш heißt Minimalsystem 2. Art, wenn für jedes Basissystem В der Ordnung h für Ш und alle x ^ ® mit \\ x\\ ^ f die Ungleichung B(\\ x ||) ^ B(\\ x ||) gilt.

Definition 9. Ein Basissystem В der Ordnung h für Ш heißt Minimalsystem 3. Art, wenn für jedes Basissystem В der Ordnung h für Ш und alle x ^ ® mit \\ x\\ ^ НЩ die Ungleichung B(\\ x ||) ^ B(\\ x ||) gilt.

Auch hier gilt allgemein die Aussage, daß die Klasse der Minimalsysteme 3. Art (bzw. 2. Art) der Ordnung h für eine Menge Ш^ & höchstens abzählbar sein kann, sofern in & aus Xi Ф X2 folgt II ^1II Ф II ^2II • Der Beweis verläuft ganz entsprechend wie in [6].

Als Analogon zur Stöhrschen Definition 4 haben wir

Definition 10. Ein Basissystem В der Ordnung h für Ш heißt Minimalsystem 4. Art, wenn es eine unendliche Folge {х(] von Elementen aus ® gibt, so daß für alle Xi und jedes Basissystem В der Ordnung h für Ш die Ungleichung B(\\ Xi\\) ^ J5(|| х^\\) gilt.

Hier können wir — im Gegensatz zu den Basen, wo die Existenz noch offen ist — zeigen

Satz 11. Es gibt für Ш = & == 2 Minimalsysteme 4. Art.

Beweis . Sei Ш^ die Menge der Zahlen, die im Ziffernsystem mit der Basis 2^ die Ziffern 0 oder 2"^"^ {rj = i,2, . . ., h) haben. Dann ist, wie Stöhr [14] gezeigt hat, В = {33i, . . ., 33ä} Basissystem der Ordnung h für Q. Die Darstellungen der Zahlen z € 3 durch das Basissystem sind auch eindeutig, da die Darstellung der Zahlen с mit

Journal für Mathematik. Bd. 205. Heft 3/4 27