Laugwiiz , Anwendungen unenâUch kleiner Zahlen. II,

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Damit haben wir alle Polynome in s und l durch Funktionen dargestellt. Im nächsten Abschnitt wollen wir uns mit gebrochenen Funktionen von s befassen.

5 . Bationale Ausdrucke in s.

Es sei I a I < ß; wir wollen eine co-Treppenfunktion E(t) so bestimmen, daß E ^ {s + (XÔ) = 0, also symbolisch geschrieben

s -{- (XO

gilt . Wir erhalten aus (4), (5), (7) die Bestimmungsgleichungen

Eo ( Ü^ + ofi) CO = Û, also E^ = ^^-^^ ,

SJ -f- (X

E^^ , ( Q^ + ^)co — E^Ü^co=0, also Е^^,=щ-^Е^,

mithin

J7 - /__^f+' _ Л « \^+i

JV^o )

Für I a I < ß, t = Nco < Û ist der erste Faktor unendlich wenig verschieden von 1, der zweite unendlich wenig verschieden von e-**, so daß wir

( 10 ) E{t) ^ e-«*

haben . Mittels der Faltung kann man daraus in gewohnter Weise Funktionsdarstellungen für alle rationalen Ausdrücke in s herleiten xmd erhält Exponentialfunktionen und trigonometrische Funktionen. Die Behandlung von linearen gewöhnlichen gleichungen und Systemen von solchen verläuft wie üblich ([2], S. 29—40).

6 . Die allgemeine 8-Funktion und ihre Inverse.

Für to = M CO, M ganz, ist A(t) == ô(t — ^o) eii^e ш-Treppenfunktion, und man hat

0 ÎUT N < M Q Ш N =-M 0 tixü N> M.

Die Faltung mit einer beliebigen co-Treppenfunktion / ergibt

Es ist also {Л ^ f) (t) = f(t — Iq). Die allgemeine d-Funktion verschiebt die Funktion / um tQ nach rechts.

A ist ein Beispiel für eine co-Treppenfunktion, welche im Nullpunkt verschwindet: Aq =0. Um aber trotzdem einen anschaulichen Überblick über das Verhalten der inversen G von A zu erlangen, ändern wir die Gleichung

A^G = d

A^==\