Jacobinskiy Verzweigungsg^ruppen und Yerzweigungskörper.

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Um zu den Normalkongruenzen zu kommen, untersuchen wir zuerst den klassenring modulo ^^^ für beliebiges M > 0 in einem relativ-zyklischen Körper Q/k vom Grade p. Dieser Restklassenring entsteht aus dem entsprechenden Ring in к durch Adjunktion der von Я modulo ^^ erzeugten Restklasse, wo Я wieder eine genau durch ^ teilbare ganze Zahl in Ü ist. Wählen wir dann eine beliebige, genau durch p teilbare ganze Zahl П^ in k^ so gilt :

Die Zahl IT kann so in ü gewählt werden^ daß sie für L =!(/?) Wurzel einer Kongruenz

( 14 ) xP — Huß =0 (^^0 und für L Ф 1 {p) Wurzel einer Kongruenz

( 14' ) x^ + x'''niß — n,y = 0 (^'')

ist . Hier sind ß und у ganze, nicht durch p teilbare Zahlen in k. Für die Exponenten in (14') gilt weiter

pc -\- m = {p — 1) L + 1 ^it 0 < пг ^ p — 1.

Ist zuerst L = 1 (/?), so sei Ulk der Körper der p-ien Einheitswurzeln, Ü' = (fi, Z) und ^' ein Primteiler von Щ in ü\ Dann wird Q'/Z vom Typ a), also Й' = 2'(Я'), und Я' ist eine Wurzel der Gleichung

wo а eine genau durch ^'^ teilbare ganze Zahl in U ist. Wie wir gezeigt haben, ist p unverzweigt in Zjk und zerfällt in Primideale ersten Grades. Also gibt es eine ganze Zahl ß in к mit а = ITjcß (^'^). Weiter ist auch ^ in ü' jü unverzweigt und zerfällt in Primideale ersten Grades. Also gibt es ein IT ^Ü mit IT' =11 (^'^0- Aus der Gleichung für IT' oben folgt dann, daß П Wurzel einer Kongruenz (14) ist.

Für L Ф 1 (/?) wird der Beweis etwas komplizierter. Wir wenden Induktion nach M an und zeigen zuerst, daß die Behauptung für M ^ (p — 1)L + 2 richtig ist. Nach Lemma 5 ist

Щ = (Щ +•••) + (осЩГ'^'^' + • • •) (Р-^Г)

mit ос ^k und а ф 0 (p). Hier ist TT^ eine beliebige ganze, genau durch Щ teilbare Zahl in ß, die nur der Bedingung Я^ = Щ('^^'^^) unterworfen ist. Die erste Klammer wird modulo F~^$^ kongruent einer p-ien Potenz Я^. Wählen wir dieses Element IT anstatt Яд, so folgt

n^ + (аЯ^^-^>^+1 + •••)— Я, = 0 (t^~^ «ßP).

Da ^^ Teiler von I ist, kann der Modul hier durch ^<p~i>^+2 ersetzt werden. Dann wird

und man erhält eine Kongruenz (14') für Я mit M = (p — 1) L + 2.

Wir nehmen dann an, daß die Behauptung schon für M = (p — i) L + и mit и ^ 2 bewiesen sei. Für den nächsthöheren Exponenten sei

( 15 ) n^ + ßnin^' — ynj, = (5Я;^я^+«--1 (*''^'),

wo Ô eine ganze Zahl aus к ist. Hieraus folgt