Kunz^ Über die kanonische Klasse eines vollständigen Modells eines algebraischen FunJctionenkörpers. 25

disjunkt zu K^ über F ist, folgt, daß auch k^ linear disjunkt zu K^ über F ist. Bis auf den erwähnten Hilfssatz ist Satz 3 damit bewiesen.

HUfssatz . Für jeden Differentialkonstantenkörper k' von Vjk gilt Л А' [Щ] = k\ wenn der Durchschnitt für alle Primdivisoren 1. Art p auf V gebildet wird.

Beweis . Es sei {>С;}хел ^^^^ p-Basis von k' über F. Sie ist dann auch eine p-Basis von k'(K^) über K^. Es folgt к'[Щ] = В1[{хх}хел] für jedes p, und die «д sind auch p-unabhängig über Щ, Es sei z € П к'[Щ] und z = /(«д^,. .., «;^), wo / ein Polynom

mit Koeffizienten aus K^ ist, das in allen Variablen höchstens den Grad p — 1 besitzt. Wegen der Eindeutigkeit der Darstellung von z folgt, daß alle Koeffizienten von / in n m liegen. Es ist П Щ = /c^, weil Z^/F isomorph zu KJk ist, und es gilt П R^ = k,

weil к als der genaue Konstantenkörper von К vorausgesetzt ist. Mithin ist z €F[Ä:'] = A', was zu zeigen war.

Anmerkung , Die Bedingung 1) in Satz 3 kann durch eine der folgenden ander gleichwertigen Bedingungen ersetzt werden: la) Für jeden Bewertungsring Щ eines Primdivisors 1. Art p auf V ist М{Щ1к^ ein freier Л^-Modul. Ib) Für jeden wertungsring R^ eines Primdivisors 1. Art p auf V ist der kanonische Homomorphismus

M ( R^lk^ - > М(К1к^) ein Monomorphismus. Ic) Es ist UbtiRpIko) =1, wobei t der

p Rang von M(Klko) und bt die ^te Kählersche Différente ist. Die Bedingungen 1) und 2)

sind zusammengenommen äquivalent zu der folgenden: Für jeden Bewertungsring R^ eines Primdivisors I.Art p auf V ist kl~ (S)jcRp ebenfalls ein diskreter Bewertungsring.

Die letzte Aussage folgt sofort aus der Isomorphic kl~ ®^ R^ ^ Äq ®;^р R^ und der Tatsache, daß Uq ®kP ^^ ^i^ Körper ist, sobald /cq 0j^p R^ ein diskreter Bewertungsring ist, folglich ко linear disjunkt zu K^ über F ist.

In der Gruppe der Divisorenklassen von V kann folgendermaßen eine teilweise Anordnung definiert werden: Sind 51 und 93 zwei beliebige Divisorenklassen, so gilt 21 ^ 93 genau dann, wenn es eine Divisorenklasse © gibt, die einen ganzen Divisor enthält, und 31 == 93 • ß ist. Aus Satz 3 ergibt sich nun :

Folgerung 1. Ist Ä die kanonische Klasse von V und Ф(Ао) die Differentialklasse von V über einem beliebigen Zwischenkörper k^ von W und к mit \k : Aq] < oo, so ist Ä ^ Ф (Ao). Die kanonische Klasse ist unter allen Differentialklassen als eindeutig be- stimmte größte Differentialklasse bei der angegebenen teilweisen Anordnung der Divisoren- klassengruppe ausgezeichnet,

Ist К ein algebraischer Funktionenkörper einer Variablen über A, so sind die divisoren 1. Art auf V gerade sämtliche Bewertungen von К über k. In diesem Fall hängen die Differentialklassen nur von К und Äq, aber nicht von V ab. Wir sprechen daher von Differentialklassen von К über k^. Die kanonische Klasse stimmt nach [3], Satz 12 mit der kanonischen Klasse von Kfk, die im Riemann-Rochschen Satz auftritt, überein. Bei Funktionenkörpern einer Variablen ist erklärt, was der Grad einer sorenklasse ist. Betrachten wir die oben definierte teilweise Anordnung der Divisoren- klassengruppe von Kjkj so ergibt sich: Sind Ж und 93 zwei Divisorenklassen von Kjk und ist St > 95, so folgt Grad St > Grad 93. Somit ergibt sich aus Folgerung 1:

Folgerung 2. Ist Kjk ein algebraischer Funktionenkörper einer Variablen, dann ist die kanonische Klasse von Kjk unter аЦеп Differentialklassen von К über k^ als die eindeutig bestimmte Klasse größten Grades ausgezeichnet.

Journal für Mathematik. Bd. 209. Heft 1/2

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