B & nz , Diskret fastbewertete perfekte Ringe und Hauptordnungm in Algebren. 77

und

^' = (t)'^ * = f > /'■ = [tÎ^ ' = v- '" =^ ^^'^^ ^^1^^-

Es ist stets

Je weniger umfassend also die Ordnungen Ot sind, um so größer sind die ordnungen et und um so kleiner sind die Ränge ft der zugehörigen Restklassenringe 31«. Während 0^ (lokale) Maximalordnung (im gewöhnlichen Sinne), dafür aber über S verzweigt ist, ist Or die von allen Ot am wenigsten umfassende Ordnung, aber dafür maximal verzweigt (e^ ~ fr = [/'m), und der zugehörige Restklassenring Шг ist die direkte Summe von Galoisfeidern, hat also von allen Restklassenringen 91« die einfachste tur. (Für eine genauere Präzisierung des oben Angeführten siehe [2]). )

Für den Fall ^ = 1, wo 31 einfach ist, stimmen die Ausführungen in diesem schnitt mit der Hasseschen Theorie der :p-adischen Algebren mit einfachem ring mod p überein.

Schließlich gilt noch:

Die Elemente e^s^''œf7z''(i = 1, . . ., ^; ç, er = 1, . . ., /c; /г, r = 0, 1, . . ., ? — 1) bilden eine Ganzheitsbasis für R jK,

Insbesondere ergibt sich für die Struktur der Ordnung 0:

0 = 0(у) + яО(^) + • • • + л'^-Ю^^у Dabei ist die Ordnung O^^^ von T die direkte Summe

^ ( T) ^^^^ 1 © * * * Ф ^t Î

von Ringen ö,, die sämtlich isomorph zu einem vollen Ä-reihigen Matrizensystem mit Elementen aus einem diskreten Bewertungsring sind.

5 . Für den Aufbau der Arithmetik in dem diskret fastbewerteten perfekten Ring R ziehen wir die zu w konjugierten Fastbewertungen

w' ( a ) = w(aQaa^^) für alle а aus R

mit heran. Konjugierte Fastbewertungen sind stets ähnlich und haben auch sonst eine Reihe von Eigenschaften gemeinsam, wie Diskretheit, Normierung auf kleinsten positiven Wert 1, die Invarianten t, k, /, h aus Abschnitt 4 usw.

Sei Q das System aller zu w konjugierten, auf kleinsten positiven Wert 1 normierten Fastbewertungen von R, Jede Fastbewertung w aus Q bewirkt eine Einteilung aller mente aus der multiplikativen Gruppe Ä^ der regulären Elemente aus R in Klassen rechts-(links-) assoziierter Elemente, die Rechis-(LinkS')Dwisoren in bezug auf die bewertung w, Sie bestehen aus der Gesamtheit der Elemente ae (ea), wobei a ein biges, aber fest gewähltes Element aus dem Rechts-(Links-)Divisor a ist und e alle Elemente aus der Einheitengruppe E der zu w gehörigen Ordnung 0 durchläuft:

a = a£ (û = Ea).

Jeder Rechtsdivisor û in bezug auf eine Fastbewertung Wr aus Q ist Linksdivisor in bezug auf eine Fastbewertung Wi aus Q, Dabei sind Wr und Wi durch a eindeutig bestimmt. Genau dann ist ein Rechts-(Links-)Divisor a gleichseitig, d.h. genau dann stimmt Wr mit Wi ein, wenn a nur aus w;-Elementen besteht. Die letzten Feststellungen haben ihren Grund darin, daß der Normalisator N^ der Einheitengruppe E einer Fastbewertung w mit der Gruppe В der regulären w?-Elemente übereinstimmt: N^ = B.