Halbgruppen und Dichteabschätzungen in lokalkompakten abelschen Gruppen.

Von Bruno Müller in Mainz.

1 . In einer vorangegangenen Arbeit [8] habe ich ausgeführt, wie man in gemeinerung des bekannten finiten Dichtebegriffs der additiven Zahlentheorie auf beliebigen die 0 enthaltenden Unter-Halbgruppen von lokalkompakten abelschen Gruppen zwei Dichten à^ und ö^ definieren kann; und ich habe unter der zusätzlichen setzung, daß die betrachtete Halbgruppe offen ist, Abschätzungen für die ^g-Dichte von Summenmengen angegeben.

Hier wird diese Fragestellung weiter behandelt und zwar in erster Linie mit dem Ziel, ähnliche Ergebnisse unter schwächeren Voraussetzungen als der der Offenheit der Halbgruppe zu erhalten. Zu diesem Zweck wird der Begriff der 0-verbundenen gruppe eingeführt, der in natürlicher Weise eine wichtige Klasse von Halbgruppen grenzt, über deren Struktur und über die auf ihnen definierten Dichten weitgehende Aussagen gemacht werden können. Diese Untersuchungen werden im § 1 durchgeführt.

Im § 2 werden dann unter Verwendung dieser Resultate und gewisser zusätzlicher Voraussetzungen über die Halbgruppe ög-Dichteabschätzungen hergeleitet, die denen aus [8] analog sind. Insbesondere ist Satz 7 so formuliert, daß er den Satz 1 aus [8] mit umfaßt. Die Voraussetzungen sind dabei so beschaffen, daß sie u. a. von den gruppen G+ der i^-Tupel nichtnegativer ganzer Zahlen und Ä^ der гг-Tupel nichtnegativer reeller Zahlen erfüllt werden. — Diese Halbgruppen sind als die naheliegensten gemeinerungen der Halbgruppe der nichtnegativen ganzen Zahlen von verschiedenen Autoren additiv-zahlentheoretischen Untersuchungen zugrunde gelegt worden, wobei allerdings stets die ^j-Dichte verwendet wurde [3], [6], [7].

Der § 3 ist von diesen Ergebnissen unabhängig. Er beschäftigt sich mit den ziehungen zwischen der d^- und der öa-Dichte. Diese Frage ist vor allem deshalb interessant, weil einerseits die (îg-Dichte der geeignetere Begriff für Abschätzungen nach Art des Mannschen Satzes ist, während andererseits Abschätzungen für wesentliche Komponenten bisher nur für die ^i-Dichte bekannt sind (vgl. die oben zitierten Arbeiten). Hier werden, ebenfalls unter bestimmten Voraussetzungen über die zugrundeliegende Halbgruppe, die G^ und R^ einschließen, Abschätzungen von d^ nach oben und unten durch d^ angegeben.

2 . ® bedeutet eine additiv geschriebene lokalkompakte abelsche Gruppe. Eine solche Gruppe ist isomorph einer Gruppe @i Ф Ял, wo ®i eine lokalkompakte abelsche Gruppe mit offener kompakter Untergruppe und Rn die additive Gruppe der гг-Tupel reeller Zahlen mit der üblichen Topologie bedeuten [10]. Die Gruppeninvariante n wird ausführlicher mit п{Щ bezeichnet. 9Ï, 93, . . . sind beliebige Teilmengen von @; U, SS, Ш

Journal für Mathematik. Bd. 210. Heft 1/2

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