90 Müller, Halbgruppen und Dichieabschdtzungen in lokalkompakten abelschen Gruppen.

offene meßbare Umgebungen der 0; ferner 9t die abgeschlossene Hülle, Ш die Menge der inneren Punkte, W das Komplement von 31. Jede Menge, die eine kompakte Obermenge besitzt, heißt beschränkt. Weiter ist Ш irgendeine Halbgruppe aus & und g = 91 ^ — 9Î, g* = 91 rN — Ш, Falls 0 € 91 gilt, sind g, g* Untergruppen der abstrakten Gruppe @J. Da g* abgeschlossen ist, ist es auch Untergruppe der topologischen Gruppe @, und g* wie @J/g* sind lokalkompakte Gruppen. ®//g* wird kürzer mit @ bezeichnet, ebenso seine Elemente mit x und seine Teilmengen mit 21. Ist a als ein Element von & eingeführt, so bedeutet im folgenden a stets das spezielle Element a + g*/^g* von ®; ist umgekehrt zunächst b als ein Element von @ eingeführt, so bedeutet b einen für das Folgende fest gewählten Repräsentanten der durch b bestimmten Restklasse in ®, Entsprechendes gilt sinngemäß für Mengen % 93. Schließlich ist es zweckmäßig, x und Й auch als Mengen aus ® aufzufassen, nämlich als x = д; + g*, 91 = 51 + g*.

Weiter sei/г ein HaarschesMaß auf ®, /1 das durch fl% = (л% auf % definierte Haarsche Maß und V ein Haarsches Maß auf g*. Es bedeutet 9Ï -- 33, daß // ((9l\93) ^ (93\3l)) - 0 gilt.

Jede Halbgruppe 9Î mit 0 € 9Î definiert eine schwache Ordnung von @ durch die Festsetzung: у ^ x genau dann, wenn у d x -\- Ш. Zu jedem solchen 9Î werden zwei Klassen Ki = Ki(^), K^ = К2(Ш) von Teilmengen definiert (vgl. [8]); iT, bestehe genau aus den Mengen Ä, die folgenden Bedingungen genügen:

( 1 ) t c: 91, t meßbar, 0 </^t <oo.

( 2i ) für K^: Es gibt ein д; € t derart, daß t - {y | 0 ^ у ^ x} gilt.

( 22 ) für K^: Aus ж € t folgt stets {t/ | 0 ^ г/ ^ ж} с t.

Es gilt K^cz Kz- Ist 0 € 91 und K^ nicht leer, so heißt 9Î eine iJC,-Halbgruppe (i = l, 2). Für eine iiTa-Halbgruppe ist g meßbar und beschränkt. Denn es gilt дсЙ^ — A<9î'^ — 9Î = g, also g = Й ^n — g und diese Menge ist meßbar. Ferner würde sich aus der Nichtbeschränktheit von g wegen Й + д = А,/^й>0 mittels des folgenden Hilfssatzes 1 der Widerspruch /л^ = 00 ergeben.

Hilfssatz 1. Ist /л^Ш > 0^) und 93 nicht beschränkt, so gilt /W*(9t + 93) == 00.

Zum Beweis vgl. [5], Theorem 4 und [9], Satz 3.

Jede iirt(9î)-Halbgruppe ordnet jedem Sic @ Dichten zu:

§ 1. 0-verbundene Halbgruppen.

3 . Satz 1. Es sei 91 eine K^-Halbgruppe. Dann gibt es zu jedem Ш ^ K^ ein U mit 9î^tlc:t.

Beweis , Ä ist integrierbar, also iu(^ r\ x -{- ^) eine stetige Funktion von x (vgl. [10]) mit dem Funktionswert /лШ > 0 für x=0. Folglich gibt es ein U so, daß 1и(Й r^ X + Ш) > 0 für alle ж € U ist. Für dieses U gilt 9Î ^ U < Й. Denn zu jedem X € U /^ 91 hat man ein y € f r^ ж -f t; dann ist у d È und 0 ^ ж ^ y, woraus nach Definition von K^ sofort ж € Ä folgt.

^ ) Ausdrucke mit doppelt indizierten Größen wie /al, ô* sind so zu verstehen, daß sie gleichzeitig die beiden Aussagen darstellen, die man erhält, indem man entweder stets die obere oder stets die untere Indizierung wählt.