Muller J Halbgruppen und Dichteabschatzungen m lokalkompakten abelschen Gruppen. 91

Definition 1. Eine Halbgruppe 31 ^& heißt iLi,*-0-çerbunden, falls ^uj(% r> U) > 0 far alle U gilt.

Hilfssatz 2. Eine fji^-Q-cerbundene Kz-Halbgruppe ist stets auch ju^-O-çerbunden; und umgekehrt.

Man nennt 9t dann einfach O-verbunden.

Beweis . Es gibt ein t € iSTg und ein Ж mit 9t ^ SS c^ t (Satz 1). Fur alle U gilt dann /^*(9Î ^ Ж r^ U) > 0 und wegen 5R ^ Ж ^ U = t rN SS r^ U und der Meßbarkeit der letzten Menge //.(^ r\ ^ r\ U) >0 Hieraus folgt sofort die erste Behauptung. Die kehrung ist trivial.

Satz 2. Fur К 2'H alb gr up pen sind die folgenden Aussagen gleichwertig*

( 1 ) 9t ist offen.

( 2 ) /.g > 0

( 3 ) 9Î ist 0-çerbunden und n(&) = 0. Beweis. Mehrfach benutzt wird

Hillssatz 3. Ist 31 eine Halbgruppe aus @ mit 0 € 91 und 0 < //^ 91 < сю, so ist % eine offene kompakte Gruppe^).

Zum Beweis siehe [8], 3.

( l ) - > ( 3 ) : Ist 9Î offen, so auch g. Wegen der Beschranktheit von g gilt /uq <oo^ so daß g alle Bedingungen von Hilfssatz 3 erfüllt und somit kompakt ist. @ hat also die offene kompakte Untergruppe g, d. h. es ist n(®) = 0. Ferner erhalt man /^:^(9Î ^ U) ^ /i(g ^ U) > 0 fur jedes U, da g r^ U ebenfalls offen ist. Also ist 9Î auch O-verbunden.

( 3 ) - ^ ( 2 ) * Wegen n{%) = 0 existiert eine offene kompakte Untergruppe S von ®, und OS gilt /W^c(S ^ 9Î) > 0. Somit erfüllt jetzt ® /^ 9Î die Bedingungen von Hilfssatz 3 und ist also eine offene kompakte Gruppe. Dann folgt © r\ 9Î ^ g und 0 < /i(6^ r> 9Î) ^ /гд.

( 2 ) -> (1): Ist //g > 0, so ist g nach Hilfssatz 3 offen, also auch 9Î offen.

4 . Definition 2. Eine Menge 91^® heißt quasi-abgeschlossen, falls /г((91\91)^9Л) = 0 ist^ und quasi-offen^ falls //((9ï\9l) ^ Ш) == 0 fur alle meßbaren Ш gilt. Ist 9Ï zugleich quasi-offen und quasi-abgeschlossen^ so heißt es einfach quasi-offen-abgeschlossen.

Satz 3. Jede ju^-O-çerbundene Halbgruppe 9Î ist quasi-offen-abgeschlossen. Beweis Da /л c-endlich ist, gibt es abzahlbar viele integrierbare Mengen Шк mit и Шк^Ш, Mit festem integrierbarem U setze man йк = Шк"^ U und erhalt, nach [9],

Satz 3, /л^т ^ йк) ^ /^*(9Î + Шг.йк)^ f^*m^ + Шг^2к)^ /л*(Ш^ + mr. S,)r>Sfc), wobei fur 31+ gilt 31+ r\ 2k "^ (31 r^ g;fc)^. Man hat also

iu ( 3l + r^m =/г((9г^S,)*r^SS)-/г*(9г^ЗS) >0

fur alle SS <: U und somit 0 €9t + . Hieraus und aus der Integrierbarkeit von 31 r^ 2k

folgt ju((3l ^ 2ifc)\(9î+ + (9t ^ 2k))) = 0, also /л^(31 ^ Й^) ^ /^(9t r> 2k) und schließlich

fi'^ ( ( 3l\3l ) r . 2k ) = 0.

Nun wähle man irgendein integrierbares Ш^ (9î\9î) r\ 3Jl. Nach [9], Satz 3 hat

тш^г^ ( 31' — 31г^Ш) ^/г*(9Г — 31+г^Ш) ^/г*(Ш — 91+^ 9î) ^//9Î, da 9îc:9r und

0^31 + gilt. Da offensichthch 9Î' — 9t ^ 91 = 0 ist, folgt hieraus /*9t = 0 und wegen der

Willkurhchkeit von Ш weiter fx^ ((3l\à) r^ 9Я) = 0.

2 ) Uie Voraussetzung 0 e 5Ï kann nachträglich beseitigt werden Vgl auch [2], wo em ähnliches Ergebnis fur beliebige (nicht notwendig abelsche) lokalkompakte Gruppen gezeigt wird.

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