68

Petersson , Über die Kongruenzgruppen der Stufe 4

die Breite 8 haben kann, x{U^) = + 1. Hierdurch ist % gemäß x(T) = x(^ss) = — 1 eindeutig bestimmt. Die durch % = 1 definierte Untergruppe von Z^^^ erhält nach (-x-) das Geschlecht /? = 0 und den Fixpunkttypus [|4, 4; 2; Oj. Wegen der Eindeutigkeit der Konstruktion besitzt sie die Stufe 4, und es entspricht ihr eine Untergruppe vom Typus A. 3. b Зз von 9K[4]. Die analoge Konstruktion liefert in jedem Z^"^ eine solche Untergruppe <4, 4>^*'^ mit den Inklusionen M^^^^i(:{i, i')^''^<Z[^\ die eine eineindeutige Zuordnung herstellen (l^v^4); <4, 4>^^^ besitzt einen Fundamentalbereich Fig. 7 mit den Erzeugenden U\ P^ := TU^T-\ E := TM__^_2T~\ M^^ und der Relation PqEM^^U^ = 4- /. — Die Kongruenzbedingung für <4, 4>^*'^ entspricht der Darstellung

<4 , 4> ( ^ ) =U Ж;,+1Г[4].

7 = 0

С . Äquivalenzgruppen der Fixpunkte und die Untergruppen vom Index 2

Für m = 2 werden die Kennzeichnung der einzelnen Gruppe in ihrer Klasse jugierter und die Inklusionen mit ihren Obergruppen bereits etwas verwickelt, so daß es sich lohnt, diese Beziehungen systematisch zu untersuchen. Die dabei auftretenden Normalisatoren sind mit den drei Fixpunktklassen der Modulgruppe verknüpft. Für die Spitzen handelt es sich im vorliegenden konkreten Fall um folgendes:

Man kann die 6 Spitzen eines Fundamentalbereichs der Г [4] den 6 Ecken des Oktaeders derart zuordnen, daß den Operationen der Modulgruppe, die die klasse einer Spitze mod Г [4] in sich überführen, die Drehungen des Oktaeders um eine Achse entsprechen, die durch den eben dieser Spitze zugeordneten Eckpunkt geht. So

wird die Spitze oo durch die xS ê ?7*'Г[4] (О ^ v ^ 3) in die zu oo mod Г [4] kongruenten

1 Spitzen übergeführt. Die gleichen S führen nun auch die Klasse der zu — mod Г [4] коп-

gruenten Spitzen in sich über, die demgemäß die der erstgenannten gegenüberliegende Oktaederecke repräsentiert. Zwei Spitzenklassen, die in dieser Beziehung stehen, nennen wir einander korreliert.

Der allgemeine Sachverhalt ist so zu beschreiben: Es sei Г ein (—/ enthaltender) Normalteiler von if vom endlichen Index m > 1, es bezeichne iV ( > 1) die (gemeinsame) Breite seiner g Spitzen (m = aN), und es sei 9№ := jF/ Г. Für jedes 5 € jf erzeugt SUS~'^ Г eine zyklische Untergruppe der Ordnung N von Ш. Daß S^US'f^r und S^US^^V (iSi, iSg ^lO die gleiche Untergruppe von Ш erzeugen, bedeutet, daß V := S^^S2 jenigen Г enthaltenden Untergruppe B^ von^r angehört, für die B^jf mit dem lisator der von и Г erzeugten zyklischen Untergruppe von Ш zusammenfällt. B^ enthält alle Nebenklassen и^Г(0 ^ v -^ N — 1). Die obige Bedingung ist auch durch S^^ S-^^B^ oder durch 6*200= S^C für ein f = 00 mod B^ auszudrücken. Die Anzahl der denen von den SUS^^r erzeugten Untergruppen von Ш beträgt [^Г: B^^].

1

Im vorliegenden Falle Г = Г[4] ist B^ = Го[2]. Von den Vertretern сю, 0,1, 2, 3, -к-

1 ^

der 6 Spitzenklassen mod Г [4] sind zunächst 00 und -^ mod Го [2] kongruent, die gehörigen Spitzenklassen also korreliert. Die Anwendung der Operationen T und UT erweist die Spitzenklassen von 0 und 2 als einander korreliert, ebenso die von 1 und 3. Für jede der 3 Gruppen Г*, Г®[4], Го[4] repräsentieren die beiden Spitzen der Breite 1 zwei einander korrelierte Spitzenklassen.

Der analoge Sachverhalt besteht hinsichtlich der Fixpunktklassen endlicher nung / = 2, 3 der Modulgruppe. Wir betrachten den Fall 1 = 2 unter der Annahme, daß Г keine eUiptischen Matrizen dieser Ordnung enthält; bekanntlich besagt dies