Über die numerische Behandlung singulärer Sturm - Liou ville - Probleme

Von Konrad Jörgens aus Heidelberg, z. Zt. Aarhus

Einleitung

Die in der Mathematischen Physik vorkommenden Eigenwertprobleme für liche lineare Differentialgleichungen sind in der Regel singular : Entweder ist das intervall unbeschränkt, oder die Koeffizienten der Dgl. sind an den Enden des Intervalls unstetig ; meistens ist sogar beides der Fall. Die Berechnung der Eigenwerte und funktionen ist unter solchen Umständen eine schwierige Aufgabe. Grobe werte kann man mit Hilfe des Ritzschen Verfahrens meist noch mit mäßigem Aufwand erhalten; eine genauere Berechnung ist in der Regel nur mit Hilfe des verfahrens möglich, wozu umfangreiche Rechnungnen erforderlich sind.

In der vorliegenden Arbeit wird das Differenzenverfahren für Sturm-Liouville- Probleme in der Standard-Form

— u" + q{x) и = Am, 0 < X <oo

beschrieben , wobei das ,,Potential" q{x) bei x = 0 von zweiter Ordnung singular sein kann, während es für x -> oo gegen Null streben soll. Diese Annahmen entsprechen lich genau den Verhältnissen bei den wichtigsten Eigenwertproblemen der Physik. Das Verfahren ist nicht neu ; es wird seit langem bei quantenphysikalischen Rechnungen mit Erfolg benutzt ^). Die hier vorgetragene Version unterscheidet sich nur durch eine flexiblere Transformation der unabhängigen Variablen und durch eine genauere sichtigung der Randbedingungen. Das eigentliche Ziel der Untersuchung ist die schätzung des Einflusses der Singularitäten auf die Ordnung des Fehlers. Wie in [3] wird eine Differenzengleichung benutzt, bei der der aufsummierte Fehler von der vierten Ordnung in der Schrittweite ist. Es wird gezeigt, daß die Ordnung des Fehlers der werte zwar kleiner als vier ist, daß sie aber durch Wahl der Parameter des Verfahrens in beliebige Nähe von vier gebracht werden kann. Genauer ist das Resultat (Gleichung (3.26)):

Xj , — Ak = 0(h'''^' + ^+h ^('^« + 6)-4J für Л->0.

Darin ist Xk ein Eigenwert der Dgl., Ajefier Näherungswert aus dem Differenzenverfahren, h die Schrittweite der Differenzengleichung (2. 7), a und ß positive ganzzahlige Para-

1 ) Vgl. z. B. [31.