Note zu einer Arbeit von R. H. Oehmke und R, Sandler

Von A, Thedy in Hamburg

Die Rechnungen der vorstehenden Arbeit lassen sich durchsichtiger und kürzer gestalten. Th. 15 läßt sich allgemeiner formulieren und ohne Klassifikation beweisen^). Sei Ш eine kommutative Algebra über einem Ring K, Eine Linearform Я: 9l-> ÜT heißt assoziatiçy falls Л((ху) z) = ^(x{yz)) für alle rc, y, z€ SR gilt. Man nennt Ш nicht-aus- geartet^ falls es eine assoziative Linearform А gibt, deren zugeordnete Bilinearform ^(xy) nicht-ausgeartet ist.

Satz . Ist Ш nicht-ausgeartet^ so ist der mittlere Nukleus gleich dem Zentrum,

Beweis . Trivialerweise ist der rechte Nukleus gleich dem Zentrum Z und im leren Nukleus M enthalten. Für m^M gilt

X { { { xy ) m) z) = Щху) {mz)) = X(x{y{mz))) = ^{x{(ym) z)) = X{{x(ym)) z)

für alle Ж, y, z€ 9i. Da ^(xy) nicht-ausgeartet ist, folgt (xy) m =^x(ym), also m^Z,

Die assoziativen Linearformen sind Verallgemeinerungen der Spuren. Nach einem noch nicht veröffentlichten Manuskript von E. Artin, Hei Braun und M. Koecher ist eine endlich-dimensionale Jordanalgebra Ш über einem Körper К der Char ф 2 genau dann nicht-ausgeartet, wenn sie direkte Summe einfacher Algebren ist, deren Zentren separabel über К sind. Wenn 91 eine Eins und jedes л: € fR, ж Ф 0, ein Inverses x~^ im Polynomring K[x] besitzt, heißt Ш ein Jordankörper. Durch Erweitern von К folgt der Satz auch für halbeinfaches Ш, also für Jordankörper.

In einer Jordanalgebra Ш gelten neben dem Jordangesetz u^{uv) = u{u^v) die Polarisationsformeln

( 2 ) 2R^^R^ + Ä„2^i» = 2R^R^R^ + R^^^

wobei die lineare Transformation R^ durch xR^—xu definiert ist. Für щю mit R^R^ == R^R^^ insbesondere für Elemente von Я [ж], folgt aus (2)

( 3 ) Ä^2^ — 2Л^^Л« = (Л^2 — 2äS) R^.

In der Arbeit von Oehmke und Sandler ist Ш ein nullteilerfreier Jordankörper. Es gibt ein festes а € SR, а Ф 0 und einen Vektorraum-Isomorphismus W: Ш-^Ш mit xW = x\

1 ) ТЛвогет lö wurde auch von A, A. Aïberi in Proc. Nat. Acad. Sei. 1968 bewiesen.