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Dress , Träge Formen über globalen Körpern

Zu gegebener Form / lassen sich aber die Halbordnungen von ÜT^, gegen die / träge ist, leicht bestimmen — K^ besitzt ja nur endlich viele Halbordnungen — und folglich ergibt der Lokalisationssatz für globale Körper К in der Tat einen Überblick über alle Möglichkeiten, 0^(K,f) als Bewegungsgruppe metrischer Ebenen aufzufassen. besondere wird sich ergeben, daß es nur endlich viele solcher Möglichkeiten gibt.

1 . Sei nun V = Vn(K,f) ein metrischer Vektorraum über einem Körper К mit einer symmetrischen Bilinearform f{x, y) und der Diskriminante dV Ф 0. V bzw. / heißt anisotrop, wenn für jeden Vektor x Ф 0 aus V der Formwert f(Xj x) =Def ^ von Null schieden ist. Besitzt V eine Orthogonalbasis x^, . . ., Xn, s,o ki V bekanntlich durch die Formwerte Xi = ki bis auf Äquivalenz festgelegt und wir schreiben deshalb auch F ^ (/ci J_ • • • ± A;„). Für x^y^V bedeute x A_y Aiq Orthogonalität der Vektoren x, y (J(x,y) =0). Ein Unterraum U von F heiße regulär, wenn U ein orthogonales plement in F besitzt, — genau dann ist dU Ф 0.

Sei ferner со eine Halbordnung von K, V bzw. / heißt träge gegen со vom Index i = Ind(F, со), wenn in jeder Orthogonalbasis von F genau i Fektoren einen bzgl. со negativen Formwert haben. Man sieht leicht, daß Vn(K, j) stets träge gegen die triviale Halbordnung von К ist und ebenso gegen jede Halbordnung von K, wenn д = 1 gilt oder w == 2 und cû{dV) = —1. Wir wollen deshalb das Paar (F, со) nicht trivial nennen, wenn keiner dieser 3 Fälle vorliegt. Dann gilt das folgende

Theorem 1. Sei К ein globaler Körper, V = Vn(K, /), dV ф 0, со eine Halbordnung von К und (F, со) nicht trivial. Dann ist V genau dann träge gegen со, wenn es eine stelle p von K, ein Element k^ K, das nicht Quadrat in K^ ist, und ein e € { + 1, — 1} gibt, so daß für alle x ^ V mit x Ф 0

gilt und F^, = VJK^, f) träge gegen co(a\p, k) =jy^J-'^] ist

Ist n^3 und p nicht archimedisch, so ist p und die Quadratklasse von к in K^ durch €0 eindeutig bestimmt. Ist гг = 1 (2) und dV = i, so ist e — + 1.

Einen Überblick über die Halbordnungen von K^, gegen die F^ träge ist, gibt

Theorem 2. Sei p eine Primstelle von K, со eine Halbordnung von K^ und (F^, со) nicht trivial.

Dann ist Fp dann und nur dann träge gegen w, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

a ) p reell {со die einzige nicht triviale Halbordnung von K^);

b ) p diskret, V^ anisotrop, n = 2 und co(a) = (-~------) » (insbesondere —dV kein

Quadrat in K^);

c ) p diskret, V^ anisotrop, 3 ^ /г ^ 4, p kein Teiler der 2 und —1 Quadrat in K^, CO eine der drei nicht trivialen Halbordnungen von K^;

d ) p diskret, V^ anisotrop, 3 '^ ri ^ i, p kein Teiler der 2, —1 Nichtquadrat in K^

( n ___1 \ ord а

: ? i_i - J = (_i) p.

Insbesondere ist im Falle c) und d) F^ weder positiv noch negativ définit bzgl. cd.