Über die Klassenzahl imaginär-quadratischer Zahlkörper

Von Dieter Pumplän in Münster (Westf.) Herrn Professor Dr. Hans Petersson ^um 60. Geburtstag gemdmet

H . Hasse beweist in [1]^) den folgenden Satz (vgl. [1], S. 115, Satz 39)2):

Ist К = P(y— /) ein imaginär-quadratischer Zahlkörper (P sei der Körper der rationalen Zahlen), dessen Führer / genau zwei verschiedene Primteiler p 4=2, q enthält,

TL

SO ist die Anzahl -^ der Klassen im Hauptgeschlecht von К durch 2 teilbar oder nicht,

je nachdem f — J = 1 oder —1 ist. Man kann das auch so ausdrücken, daß unter den obigen Voraussetzungen für die Klassenzahl h von К

( 1 ) h ^1—(~^]mod4

gilt , wobei! —j wie üblich das Legendresymbol bezeichnet. Im Anschluß an den Satz

bemerkt H. Hasse, daß ihm eine Verallgemeinerung für den Fall, daß / mehr als zwei verschiedene Primteiler enthält, nicht gelungen ist. Die Kongruenz (1) ist eine gemeinerung der wohlbekannten Tatsache (vgl. z. B. [2], S. 389, V a und S. 395, V b), daß für die Klassenzahl h der quadratischen Zahlkörper, deren Diskriminante durch genau eine Primzahl teilbar ist, die Kongruenz

( 2 ) A = 1 mod 2

erfüllt ist. Für den Fall, daß die Diskriminante eines imaginär-quadratischen Zahlkörpers durch genau n verschiedene Primzahlen teilbar ist, n >2, weiß man nur, daß für die Klassenzahl h

( 3 ) A ^ 0 mod 2**-^

ist (vgl. [1], S. 50, Satz 12 und [3], S. 179, Satz 132), ein Ergebnis, welches schwächer als die Aussagen (2) und (1) für г^ = 1,2 ist. Das Resultat (3) ist daher sehr unbefriedigend,

1 ) Mit eckigen Юаттегп wird auf das Literaturverzeichnis am Ende der Arbeit verwiesen.

2 ) In seiner Arbeit „Über die Anzahl der Klassen binärer quadratischer Formen von negativer nante" (Acta Mathematica 19 (1895)) gibt A, Hurwitz in anderem Zusammenhang einen elementaren Beweis für diesen Satz.