H er seh, Symmetneeigenschaften linearer Rand- und EigenwertproUeme 147

lost in Q das Randwertproblem

( 3' ) Au = —q{z) in Ç, dujdn = g{a) längs y = yi,

wobei

( 4' ) е(^)=-д{гг)+ • +q(zv)

und

( 5' ) g((r)=g{a^)+ . +^Ю (/г = /? + ?<^ = т + л)

Die Gültigkeit von (5') folgt wieder daraus, daß sich die Beitrage der inneren Punkte r^ = Гу paarweise aufheben ои/дщ + àujàn^ =■ О

Die Losbarkeitsbedmgung (6) übertragt sich von selbst von G auf Ç. (6 ) Ф g d<r = — // ^ ^^^y

V Q

2 . 3. Konjugiert harmonische Funktionen

Betrachten wir wieder das Dirichletsche Problem zur Laplaceschen Gleichung (1") Av = 0 m G, v = f{s) längs Г,

und das ,,zugehörige" Neumannsche Problem

( 1' " ) Au = 0 m G, dujdn = df/ds längs Г

( Die Losbarkeitsbedmgung ф {dfjds) ds = 0 des Neumannschen Problems ist erfüllt.)

г

dujdn = dvjds längs /*, die harmonischen Losungsfunktionen и und v sind jugiert zueinander

Gemäß (2') und (2) definieren wir m Q die {ebenfalls harmonischen) Funktionen

u ( z ) = JJ u(z;^) + 2! w^""), v(z) = JS v(z:^) — 21 ^(^p.

Langs des Randes y von Q ist v{a) = f{a) definiert durch (5); bei der Berechnung von dajdn beachte man, daß da^^^'^jda = +1 aber da^^^^jda = —1 ist, also gilt

dn da^^)^ ^ da^^)- da ^ ^^^ ^ ^ ^^^ ^^ da da

Also sind auch die harmonischen Funktionen и und v konjugiert. Aus einer m G tischen Funktion w = и -\- IV ist also eine m Q analytische Funktion w = и '\- iv standen — Dies leuchtet auch direkt em:

( 2 " ) w(z):=2: w(zt) + 2; w{zj-);

jede Abbildung 2+(z) ist konform, jede z^(z) antikonform; folglich sind alle Funktionen w(z;^(z)) und w(z~(z)) analytisch, ihre Summe also ebenfalls. — Diese Betrachtung wird durch das Schwarzsehe Spiegelungsprmzip der Funktionentheorie nahegelegt.

2 . 4. Greensche Funktion.

2 . 4. 1. Wir definieren die Greensche Funktion g(z, Ci G) m einem Gebiete G bei festem C^G durch folgendes Dirichlet-Problem zur Poissonschen Gleichung:

G ) =—ôç (Diracsches Maß im Punkte C),

i^zg ( z , C; U(^, C; G)

^^^ »-'- ^*G) = 0 fur z€r.