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H er 8 eh, Symmetrieeigenschaften linearer Band- und Eigenwertprobleme

die charakteristische Gleichung ergibt also Ah= (1 ±/21 )/2. [Zugehörige tion: a:b:c = (iO ±2]/2i):(3 ±\^2i):2.]

, , Lokales Problem'' in Q mit Spiegelung am Rande: An-a — 2a — 2(—a) = 0, das charakteristische Polynom Ah ist ersten Grades. Eigenwert: Ah = 0 (zugehörige Eigenfunktion î, fortgesetzt auf G: a: b: с = i: —1: —1). — Wir \^erifizieren wieder: ^äC^a — Af^ — 5) = ursprüngliches charakteristisches Polynom.

4 . 2. Abschätzung çon Gebietsfunktionalen vermittels Variationsmethoden. Will man ein Gebietsfunktional (z. B. Kapazität, Torsionssteifigkeit, Grundton einer schwingenden Membran) durch Anwendung eines Extremalprinzips (z. B. Prinzip von Dirichlet, Thomson oder Rayleigh) nach oben oder nach unten abschätzen, so erlaubt die Kenntnis der „globalen Gleichungen", bessere zugelassene Probierfunktionen zu konstruieren: nämlich solche, welche diese Gleichungen erfüllen. [Im Spezialfall, wo G

aus nur zwei gespiegelten Zellen Qf, Q^ steht (mit einer einzigen inneren Kante) war das schon immer üblich: eine symmetrische Lösungsfunktion wird durch eine trische Probierfunktion angenähert.]

Beispiel (Fig. 5): Wir konstruieren eine obere Schranke für den ersten Eigenwert Ai einer unendlichen L-Membran

y

i

3'

'zt

а

G .

2

f

oZJ

w - - - - - - L -

'^1

1 о

: ^i

Z 3

Fig . 5

{ Av + Д^г» = 0 und v>OinG,v = 0

längs des Randes Г) auf Grund des Ray- leighschen Prinzips.

Wir definieren eine Probierfunktion V{x^y) zunächst in G^ und in Gg* In Gl : V (x, y) = Ce-*^ sin {ny) ; in G2 : V [x, y) = С sin (nx) e"*^.

( Ä : > 0 willkürlich)

Die „globale" Gleichung (14) behält ihre Gültigkeit in diesem Fall von unendlich vielen Zellen [vgl. 2. 1. 3(b)]; wir definieren entsprechend: In Q:

V ( z ) =V { zt ) =2 : V ( zr ) - 2 : V{zt), d.h.

1 2

F ( a ; , 2 / ) = [F(2-a;,2/)+F(4-x,y)+ F(6—а;,г/) +•••]—[F(2 + x,«/) +F(4 + x,2/) + •••] + [F(x, 2 — y)+ V(x, 4 - 2/) + • • •] — [F(x, 2 + г/) + V{x, 4 + y) + •••];

F ( 2 — X, y) + F (4 — X, 2^,) H------= С sin (яг/) е-*<^-*>/(1 — е"^*), usw.,

daher

F ( x , у) = C(e-*/Sh к) [Sh (fcr) sin (да/) + sin (ях) Sh {ky)].

Wählen wir etwa С = e*ShÂ;, so haben wir

in Gl : F (x, ?/) = Sh Ä: • e-*<'-^> sin {ny), in G^: F(x, г/) = Sh Ä: • sin (ях) e-*^''-", in Q: F(x, y) = Sh (äx) sin (яу) + sin (ях) Sh (%).