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Elliger , Über das RangproUem bei Körpererweiterungen

Wann ist ein Rechtsideal f(X) R aus R ein zweiseitiges Ideal ? Notwendig und reichend dafür ist, daß zu jedem r aus R ein r' in R mit rf{X) = f{X) r' existiert. Dies ist genau dann der Fall, wenn es für r = Z aus L und für r = X richtig ist. Durch zientenvergleich der Potenzen von X auf beiden Seiten der Gleichung folgt r' in L für r in L, und r' = X iüT r = X, Das ergibt (vgl. [2], S. 38) die Bedingungen:

( 1 ) f{X) = aX*, mit a aus L und einer natürlichen Zahl t, oder

( 2 ) es existiert eine kleinste natürliche Zahl A, so daß s^ — "^Г^'^^г ^i^ innerer morphismus von L ist und f{X) die Gestalt hat

/ ( X ) = a(X*"^ + X(^-^>^ai + Х^'^-^^Ч^ + " ' + aj (a^ Ф 0, v^^-^a^a;;^ in Vj^{L), a^s == a^ für ^ -= 1, . . ., m).

Wir konstruieren jetzt zwei Arten Beispiele a) und b) von quasigaloisschen erweiterungen.

a ) Das Polynom f{X) genüge den Bedingungen (2) und sei irreduzibel, d. h. aus /(X) = g{X) • h{X) folge g{X) in L oder h{X) in L. Dann ist das durch /(X) erzeugte zweiseitige Ideal (f{X)) ein maximales Rechtsideal, also ist E = RIQ{X)) ein Körper. Er hat über L die zweiseitige Basis 1, X, . . ., X^^~^. Zum Nachweis, daß E über L quasi- galoissch ist, betrachten wir die Projektionen j^o, . . -j Pn~i'

Sie liegen in G = Endjr, (x-Ê'x) ^^^ ^i^d sowohl über E^ wie über E^ linear unabhängig. Da (Eiid]^{]^E) : E^— dim^^(jr^£') — n ist, erzeugen sie also über E^ den Ring Endjr,(j.E'), entsprechend über Ei den Ring Endjr(£'^). Daher ist

7^ДЕпс1^ ( ^Е ) ) = F^^("i^i>,i?,) = F^^ ({;>,}),

andererseits ist V^ Ç&nàj^{j^E)^ = L^^ also ist L Linksfixkörper der p^. Entsprechend ergibt sich, daß L Rechtsfixkörper der p^ ist. Also ist E über L quasigaloissch.

b ) Das Polynom /(X) vom Grad mk — n habe die Form (1) oder (2). Die aus der Idealeigenschaft lf{X) = f{X)l' sich ergebende Abbildung t von L in L erweist sich als Monomorphismus von L. Da jedes Rechtserzeugende eines Ideals ein Linkserzeugendes ist ([2], S. 37 oben,), ist t sogar ein Automorphismus. Es bezeichne 6' den Polynomring L[/(X); ]f] und E seinen Quotientenkörper. Wir können S als Teilring von R und E als Teilkörper von К auffassen.

Behauptung , К ist quasigaloissch über E und besitzt 1, X, . . ., X**"^ als seitige Basis.

Beweis , Angenommen, es gäbe Elemente ^q, g^, . . ., q^^_^ aus £, so daß 5fo -f Xq^ + • • • + ^**~^?w-i = 0 ist. Die Elemente q^ haben die Form q^ = u^v^-^ mit u^j v^ aus S, Sei с ein Rechtsvielfaches von Vq, , . ,^ ^«-i? d. h. с = v^v[ mit v'^ aus S und i = 0, . . ., гг — 1. Dann ist q^ = u^v^^ = {u^v\) {v^'ü\)~'^ — u^v'^c'^. Also ist UqVq + Xuiv[ + . . . + X^~^Un_i%_i = 0. Die u^v'^ liegen in iS, also ist Grad (X^UiVl) ^ i (mod n), daher sind alle u^vl = 0 und, da S Integritätsbereich ist, и^ = 0. Also sind 1, X, . . ., X**"^ rechts linear unabhängig über E.

Seien andererseits 1, X, . . ., X**"^ links über E linear abhängig. Wir bezeichnen den inneren Automorphismus von K: k-^ X~^kX mit s. Er ist die Fortsetzung von