Arnold , über die Konvergenz einer zufälligen Potenzreihe 89

b ) SeiÜ = [0,1], g der Borelkorper über [0,1] und P das Lebesguesche Maß m % Die Koeffizienten einer znfalhgen Potenzreihe sollen wie folgt definiert sein

а^ { со ) = 1

a^ico ) = -

1 fur 0 < CO < —

0 sonst, fur n ^ 1

Wegen ^ P [a^ Ф 0] = ^ — < oo ist die zufällige Potenzreihe nach Satz 2 em zufälliges Polynom, wobei der n^

Grad g{œ) nicht beschrankt ist Es existiert also kein Hochstgrad Übrigens gilt fur dieses zufällige Polynom

Гр ^ 1 \/ p> 0, wobei Tp der Radius des p Mittel Konvergenzkreises ist

3 . Die Verteilung des Konvergenzradius einer zufälligen Potenzreihe

In diesem Abschnitt sollen weitere Aussagen über die Verteilung der auf dem Wahrschemlichkeitsraum (A, % P) definierten (erweitert-reellwertigen) Zufallsgroße

r { a ) = (hm Vi a^{a)\] gemacht werden Über die Bedeutung solcher Aussagen und die möglichen Verteilungsfunktionen fur r{a) wurde m Bemerkung 3 und Lemma 1 etwas gesagt

Eine signifikante Große fur die Verteilung von r{a) ist r^ = sup {r \r(a) '^ r P-î s }, der Radius des P f s Konvergenzkreises Untere Schranken fur Гд kann man aus Satz 1 d) gewinnen Aus ihm geht hervor, daß gerade die niedrigen Momente der a^ die besseren unteren Schranken fur r^ liefern Darüberhinaus gilt das

KoroUar 1. Sei (Л, 51, P) eine zufällige Potenzreihe mit a^ € L^ fur em p > 0 V w, und rq der Radius des q-Mittel Konvergenzkreises {0 < q ^ p) Dann gilt

Го ^ sup {г J 0 < gr ^ ;>} z:^ hm r^

Beweis Nach Satz 1 d) gilt rQ^r^^i q^ (0, j9], also auch r^ ^ sup {r^ | 0 < q ^p]. Zum anderen ist nach Satz 1 d) r^ als Funktion von q fur q \ 0 monoton nicht fallend Also existiert lim r , und es ist hm r„ = sup {r^ 1 0 < g ^ j9}, wie behauptet.

ВетегЫпд 5 Nach Korollar 1 ist also lim r^ die beste untere Schranke fur r«, die sich aus der 2?-Mittel-

2 ? - > + o Konvergenz einer zufälligen Potenzreihe gewinnen laßt, auch wenn die Koeffizienten abhangig sind Dazu einige Beispiele a) Fur das Beispiel b) fur zufällige Polynome gilt r» = 1 V î> > 0, also 1 = hm Гр< г^= oo

p - ^ + O

1 1^1, b) Eine zufällige Potenzieihe mit P[an = 2^] = -^ , P[a^ — 0] = 1------- ist wegen ^ —- < oo und

1^ n{p~l)

Satz 2 ein zufälliges Polynom Es ist also r^ = oo, wahrend {E \ an\P)P = 2 ^ (?? > 0)» also

- 1 / - - - - - - - - —ï\ - ^ i=^ 1

hm ]/(E I ün \^)^ =-2 P gilt Z В ist r^ = —=- , aber hm r^, =- oo = r^,

j / 2 ?>->+o

c ) Fur eine zufällige Potenzreihe mit P[a„ = 2^] = — , P[a„ = 1] = 1-------ist r^ = 1 Es gilt

и и

f 1 f ur 0 < p < 1,

\2 P fur г?^1.

—= - , aber fi = hm r^ = 1 = Го |/2 /?^ + o

Journal fur Mathematik Band 222 Heft 1/2 12