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Gramschj Abgeschlossene Ideale in Operatoralgebren

Wie gewöhnlich heißt ö < i? ein linksseitiges (rechtsseitiges) Ideal, wenn ö ein linearer Raum ist und xi^ ix^\s gilt für iëS, x^R. Die Restklassen von R nach S

bilden einen linearen Raum, wenn x -\- y ==def ^ + Vi ^^ ==def ^^ ^^^- Ferner läßt sich für die Klasse Ъ eines Elementes a^% und x, x(: R, eine multiplikative Verknüpfung definieren: ax = ax. Denn sei y' = a, o;' = ж, so gilt

ax — y'x' = ax — ax' + ci^' — у'^' = û^(^ — ^') + ((^ — у')^' ^ ö. Ferner gilt

( ä + b)x = (a + b)x = (a + b)x = ax + bx = äx + bx = ax + bx

für a, è € 91, ebenso а(ж + 2/) = ö^^ + cty^ schließlich sei xO =aef^- D^^* natürliche lineare Homomorphismus h von R auf iî/Q hat also die Eigenschaft h{xy) = h(x) h(y), wenn o; € 9Ï oder a; € ö oder г/ € ö ist. Der Kern von h ist das zweiseitige Ideal ö. Mithin ist ЦЖ) Algebra.

Definition 3. 2. Eine Abbildung h einer Quasialgebra iî, Algebra 21 «ей, auf einen linearen Raum Ç, in dem zwischen gewissen Elementen ein Produkt definiert ist, mit den Eigenschaften h(x -{- y) = h{x) + h(y), h(Xx) = Xh{x), h{xXy) = Xh{x) h(y), wenn ж ê 9Ï ist, oder X € Kern h oder y € Kern Ä, heißt Quasihomomorphismus,

Aus dieser Definition folgt unmittelbar, daß der Kern eines Quasihomomorphismus ein zweiseitiges Ideal ist.

Die Beschränkung von h auf 9t ist ein Homomorphismus, andererseits induziert h den Homomorphismus ä' : 9ï-> 9t/9t r\ S.

Satz 3.1. Sei R eine Quasialgebra, 91 < -Й, ö ein zweiseitiges Ideal und h der sprechende Quasihomomorphismus, 91 = {ä = Ä(a) | a Ç 9Ï}. Dann gilt

Rßr^%^%l%rs^ .

Ist a € Д/о, ä' € 91/9Ï гл ö; er : ä-> ä', so ist а Homomorphismus; а ist eineindeutig: Sei äi Ф ^2, so folgt a^ — a^i ö, a^ — ag ^ ^^ ^^^o a^ — ag ^ ö ^ 9Ï, daher gilt ä^ Ф äg. Umgekehrt sei ä^ ф äg, so gilt a^ — ag $ ö ^ 9Ï, a^ — «2^91, daher a^ — a2 ^ ö und

Im linearen Raum &{X) ist der lineare Raum @o(Z) = {^ € @(X) | ^0 = 0} enthalten.

Die Ergebnisse von Kapitell, insbesondere Satz 1. 8, übertragen sich auf &{X), Wir erhalten, entsprechend dem zugrundegelegten Mengensystem @ = {S^, schlossene Linksideale 8^/«\ aus denen wir mit Durchschnittsbildungen weitere gewinnen können. Ferner erhalten wir die vom Rang der Nullumgebungsbasis herrührende „Ideal- gabel" von IL

Definition 3. 3. A^ &{X) heißt vom Grad J<^ kompakt (separabel), wenn es zu jedem x^ X eine Umgebung Ua {x) gibt, deren Bild А U а (^) präkompakt {separabel) vom Grad i<^ ist. Die Gesamtheit dieser Elemente wird mit 8^(0*) bezeichnet.

Satz 3. 2. S^ < %[X) bildet ein zweiseitiges Ideal,

i . e^ ist linearer Raum: a) Mit Л € Ö^ ist auch XA € Ö^. b) Sei A,B^Q^ und x^X; dann werde gesetzt:

UaM^ ) = UA{x)r^U^).