104 KühnaUf ЛпеЛфаеке Darstellung von AbUUungsfunktionen

Up von Y noch durch einen zweiten Index andeutet, nach (28) und (23) :

4 4

2 . Estremalproblem (dieses Extremalproblem wird durch eine lineare tion auf ein von H. Grötzsch — vgl. [16] (dort Theorem 6. 15) — geometrisch- theoretisch gelöstes zurückgeführt):

Es ist bei in ® fest vorgegebenen verschiedenen Punkten Zq,Zi,z,^ der genaue

Wertebereich der Größe log ^^^------(-L1L (mit in bekannter Weise definiertem Zweig des

Logarithmus ) in bezug auf die Gesamtheit Slg der schlichten konformen Abbildungen w = f(z) von @, die in Umgebung des Punktes Zq eine Entwicklung

( 29 ) /(2)=^^+^(z-Zo)

Z Zq

besitzen und für die /(Zj) + /(^2) = ^ (diesfe Bedingung dient nur zur formalen fachung der Extremalfunktionen) ist, zu bestimmen.

Nach [16] (Theorem 6. 15) ist dieser Wertebereich eine abgeschlossene Kreisscheibe ^2? wobei jeder Randpunkt dieser Kreisscheibe von genau einer Abbildung von Ш2 genommen wird. Bei dieser sind jeweils im Bilde beide Randkomponenten Schlitze auf einer gewissen Schar isogonaler Trajektorien der Neigung y zu den zu w^^ = w{Zi) und ге?2 = w(z2) konfokalen Ellipsen. Das zugehörige quadratische Differential in der ^-Ebene ergibt sich aus dem Verlauf dieser isothermen Kurvenschar zu

( 30 ) Q(w)dw' = -e'''^-.---------^--------- =^-e~''^ /^' , .

^ (w — w^) (w — W2) " w> — ^2

Q ( z ) dz^ besitzt in & genau drei Pole, nämlich z^ und Zg mit den Ordnungen 1 und Zq mit der Ordnung 2 und keine Nullstelle, auf | z | = 1 und \ z\ = r keine Pole, aber je genau zwei Nullstellen, deren Ordnung 2 ist: «i, Ö2 bzw. ag, a^ (diese entsprechen den Enden der beiden Schlitze). Die Nullstellen sind also «j, «2, «g, a^initocj^ = (X2 = oc^ = oc^ = 2(k = r = i)^ die Pole sind öj = z^, b^ = z^^ b^ = Zq mit ß^ = ß^= l^ ß^ = 2{l = 0, s = 3). Damit wird nach(l), (13), (30):

- - - ^ dz^

• ^"'(ä + b2)^~\b — Ьо)^~Чь + Ьо)'П (гЧь — а,)

Durch entsprechende Überlegungen wie in Beispiel 1 folgt (32) w = w^{z) ^ W2 Щ Г|/х7е*''е-'^'^^"^'^'+^"^"*>е2^'^

1

z^

4

dh

wobei im Integranden ein beliebiger Wurzelzweig in dem zusätzlich von Zq nach z^ und von Zq nach Zj aufgeschnittenen Kreisring fest zu wählen ist. Die Entwicklung im Punkte z — Zg liefert durch Vergleich mit (29) (33) Ki = e-2<7'e24iOma.+ame.)g-4,a.

• of(8o —§i)«f(äo + bi)<f(bo — b»)o{bo + b) ff*(äo + äo)/ П а''{Ьо — й,)

I »=1