Scheid , Arithmetische Funktionen über Halbordnungen. I 199

mit

( 12 ) gH{D,A) = {r,{X)^f(ê{Y),A))(D) für alle D <: A,

Beweis , Die Aussagen

f { ^ { D ) , A) ^ {g^{X, A) ^ 1(7)) (D) für alle D с 4 und

gj^ { D , A) - {fmX), A) ^ ri{Y)) (D) für alle Z) с Л

sind äquivalent. Wegen Lemma 3 folgt daraus die Äquivalenz der Aussagen

f ( H ( N , A), A) = {gj^iX, A) ^ HY))(HN, A)) für alle N^Q{^) und

g^ { D , A) = (fmX), A) -)f rj{Y))(D) für alle D ^ A,

Wegen /(iV, A) ^ E^ folgt der erste Teil des Satzes. Der zweite Teil wird ebenso bewiesen.

Bei festem А und gegebenem f kann man also die Werte von g^iD^ A) und g^iD, A) für alle in А enthaltenen Quotienten D berechnen; umgekehrt genügen diese Werte zur Berechnung aller /(TV, A), Die Klasse E^ ist durch die Möglichkeit einer Darstellung der obigen Form gekennzeichnet, d. h. man kann E^ als die Klasse derjenigen Funktionen über Q(^) X Q(^) definieren, welche Darstellungen der Form (9) oder (11) besitzen.

Die Ramanujan-Summen nehmen in der Klasse E^ eine Sonderstellung ein, da sich aufgrund der Orthogonalitätsrelationen (5), (6) alle Funktionen aus E^ eindeutig durch Ramanujan-Summen darstellen lassen (Satz 3). Da im zahlentheoretischen Fall die Ramanujan-Summe als Exponentialsumme geschrieben werden kann, spricht Cohen [4] von einer trigonometrischen Darstellung.

Zunächst sind für ein beliebiges /(iV, A) die Aussagen

( 13 ) /(^(ß), A) = (с^(^(5), X) ■¥: лд(7, А)) (А) für alle oberen Faktoren В von А und

( 14 ) oc^iC A) = щ^^-щ ifmX), A) ^ cA^(C), Y)) (A)

für alle unteren Faktoren С von А

äquivalent , wie man durch wechselseitiges Einsetzen und Anwenden der relationen für die Ramanujan-Summen verifizieren kann. Ebenso gewinnt man die Äquivalenz der Aussagen

( 15 ) f{ß[C), Ä) = (ocr^(X, A) ■¥: Cji(&(C), Y)) (A) für alle unteren Faktoren С von А und

( 16 ) ос^(В,А)==щ^Ые(В), X)^f(&(Y),A)){A)

für alle oberen Faktoren В von A,

Daraus erhält man unmittelbar den folgenden Satz über die Ramanujan-Darstellungen gleichmäßiger Funktionen, wobei man beachten muß, daß nach Lemma i îiïT X cz. А die Beziehungen CjXx(N, A), X) = Cj^(N, X) und Cj^{x(N, A), X) = Ci^(N, X) gelten.

Satz 3. Ist f(N,A)^E^ und K(N,A) oberer Faktor von A, so gilt

( 17 ) f(N, A) = (c^(iV, X) ^ocj,(Y, A)) (Л),