Szimtenings , Relativnullen in additiven abélschen Gruppen 19

e ) г ^l) А^ + В, dann existiert (nach Definition der Summenmenge) mindestens eine Darstellung r = а + b mit b Ç: В und а 6 U Л^. Daraus folgt: Es gibt ein t^ I so, daß a^A^ ist, und hieraus r = (a + b) (: {A^ + B). Somit ist r Ç U (^^ + B), Ist andererseits 5 € U {A^ + Б), dann gibt es ein t(: I so, daß s^A^+ В ist. Daher läßt sich s in der Form 5 == a^ + è mit a^^ A^ und è Ç S darstellen. Es folgt: a^^U A^ und damit s = a^ + b ^ U A^ -\- B,

f ) Sei r ^ П A^ + В behebig. Dann muß r von der Gestalt r = а + b sein mit

iÇ . 1

a i f\ A^ und è € Б, und es gilt a^ A^ für alle i € /. Somit folgt r = a + b ^ A, + В iür

iei alle i Ç /. Also ist r € П (Л,. + B). iei

g ) Mit a^^ a^^ А und b^^b^^ В folgt (wegen der Assoziativität und Kommutativi- tät in G):

( ö^i + èi) + {4 + ^2) = («1 + 0^2) + (^1 + b^)^A + B,

also ist A + 5 Unterhalbgruppe. Falls A und ß Untergruppen sind, ist 0 € A r> J?, so daß 0 e A + ß erfüllt ist. Da mit a^A und b^B auch —a ê Л, —b^B gilt, folgt - (a + è) = (-a) + {—b) ^A + B,

Bemerkung 1. Die Umkehrung zu c) gilt im allgemeinen nicht, wie das Beispiel A = {1}, В = {0}, С = {О, 1, 2, . . .} zeigt. Ebenso ist in der Eigenschaft f) das heitszeichen i. a. falsch; man wähle etwa A^ = {0}, A2 = {i} und В = {0, 1} und beachte Definition 1.

Bemerkung 2. Für Summenmengen aus n gleichen Summanden А wird пА schrieben.

§ 3. Relativnullen in G

Deîineition 2. Existiert zu einer nicht leeren Menge A ^G eine Menge N(A) ^ G mit mind)stens einem von Null verschiedenen Element derart, daß die Beziehung A + N(A = A erfüllt ist, dann wird N{A) eine Belatwnull bezüghch der Menge A genannt. A selbst heißt eine Menge mit Relativnullen.

Aufgrund dieser Definition muß eine Menge mit Relativnullen mindestens ein von Null verschiedenes Element enthalten. Als Beispiele für Mengen mit Relativnullen seien genannt:

Beispiel 1. Jede Unterhalbgruppe U ^G mit 0 ê Î/ ist zu sich selbst Relativnull: N{U) = U. Denn für Unterhalbgruppen gilt allgemein U + U ^U und hier außerdem (mit Satz ic)) U + U Ш U + 0 = U, Also ist tatsächhch U + U == U.

Beispiel 2. Die dyadischen Brüche aus R{—00, + 00) bilden bezüglich der Addition eine abelsche Gruppe

G = L^ n= d=l, d=2, ±3,...; r = l,2,3,...|. Die Teilmenge der positiven dyadischen Brüche

^= . { ^1^ = 1,2,3,...; r = l,2,3,...}

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