Szimtenings , Rélaiivnullen in additiven àbelschen Gruppen

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nach Folgerung 2 die Menge N^(A) auch die Unterhalbgruppe U ^N'^{A) als null besitzt. Also gilt: N-^(A) + U = N^(A) und damit ist die Richtigkeit der zweiten Behauptung mit D = N^(A) gezeigt.

Bemerkung 5. Die in den Beispielen 1) und 5) genannten Relativnullen sind maximal, während im Beispiel 2) die maximale Relativnull bezügHch A durch N-^(A) = lim Nk(A) gegeben ist.

ifc - >00

§ 6. Ausdehnung auf abelsche Halbgruppen

Die Sätze und Beweise der §§ 2—5 legen es nahe, anstatt von abelschen Gruppen G von abelschen Halbgruppen H als Obermengen auszugehen. Bei den meisten Beweisen wird nur die Halbgruppeneigenschaft der Gruppe G ausgenutzt, die Null wird dagegen fast überall benötigt. Bei einer solchen Erweiterung müßte der Satz 3e) gestrichen werden. Die in Satz 4 a) für jedes A ^G definierte Gruppe V(A) müßte durch die Menge V(A) der Elemente n^ G mit {n} + A = A ersetzt werden. V{A) ist dann nur halbgruppe mit 0 € V(A), so daß die Bemerkung in Satz 4b) ,,W(A) besteht aus vollen Restklassen von G modulo V(Ay' wegzulassen ist. Mit dieser Abschwächung bleiben alle bisher bewiesenen Sätze mit Ausnahme des Satzes 3e) richtig, wenn man statt einer liebigen abelschen Gruppe G eine beliebige abelsche Halbgruppe H mit 0 € Я zugrunde legen würde. Die Beispiele 1), 4) und 5) der §§ 3 und 4 sind von Anfang an auf gruppen als Obermengen zugeschnitten. Als Ergänzung das

Beispiel 7. Die Halbgruppe Я = {r + ^ 1/2 (mod 5) | r, 5 6 Z} sei Obermenge. Dann ist auch hier V(H) — {r (mod 5) | r € Z} eine Untergruppe von Я, und es gilt

W ( H ) = {r + sy2 (mod 5) | г, 5 € Z, 5 ^ 1}.

§ 7. Relativnullen in G^ und Gq

1 . G^ sei eine aperiodische abelsche Gruppe mit additiver Verknüpfung. Speziell bildet die Menge der ganzen Zahlen bezüglich der Addition eine solche Gruppe. Hier ist V{A) = {0} für alle А ^ G^, Die von H.-H. Ostmann [2] betrachteten Teilmengen der Menge Z der nicht negativen ganzen Zahlen sind auch Teilmengen dieser Gruppe G^. Somit sind, wie bereits in der Einleitung erwähnt, die nachstehend bewiesenen Sätze Verallgemeinerungen der Betrachtungen von H.-H. Ostmann.

Alle Sätze der §§ 2—6 haben für die Teilmengen von G^ Gültigkeit. Doch sind die Aussagen der Sätze 5 a) und b) und der Folgerung 4 leer. Da auch die additive (abelsche) Gruppe der reellen Zahlen aperiodisch ist,t gilt dies insbesondere^für die Teilmengen der Menge der reellen Zahlen.

Beispiel 8. Die Menge Л - {1 +1^2,1 + 3l/2, 1 + 4l/2,1 + 5l/2, . . .} hat als maximale Relativnull die Unterhalbgruppe

7V + ( A ) = {0,2.l/2,3-l/2,4-l/2,...}. Die Menge N(A) = {0, 2, 4, 6,. . .} ist Relativnull bezüghch

А = [0, 1) w [2, 3) v^ [4, 5) w . • . .^ [2n, 2n + i)^ .,,. Charakteristisch für aperiodische abelsche Gruppen ist der nachstehende Satz.

Satz 8. Keine endliche Menge А ^G^ besitzt Relativnullen.

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