Szimtenings , ReUUvnullen in additiven àbelschen Gruppen 31

b ) Das aus K(E^, A) gestrichene t kann in der Form t = — mit passendem q und (i,nq) = l, —^^ angesetzt werden. Für dieses q enthält K{nq,A) — {t} kein

Element der Gestalt —, (i', nq) = i, i' = i (mod q), da höchstens ein Element dieser

Art in K{nq, A) vorhanden ist. Würde nun in der Aussage von Satz 9b) das Gleichheits-

k zeichen gelten, so gäbe es ein ----Ç A mit (Ä, nr) = i derart, daß gleichzeitig

к

— 6 K(E^, A) — {t} ist. Daraus folgt die Existenz eines Elementes —^E„ mit

k . J . ^ j f^ ^ J ^ — ]Я j к i — jq

- - - - - - 1 - — == ^ =---- oder — =---------~ =------^-^ oder — =------^-^.

nr n nq nr nq n nq ^ Я

Aus (i, nq) = 1 und (/c, nr) = 1 folgt (i — jq, q) = (i, q) = i bzw. (A;, r) = 1. Daher

к ergibt sich r = q und к = i — jq ^ i (mod q). Also wäre — ^ K{nq, A) — {t} mit

{ kj nq) = 1 und к = i (mod g), im Widerspruch zu dem zuvor Bewiesenen.

Bemerkung 9. Für das bei vorgegebenem N'^(A) kleinstmögUche n^2 wird (nach Bemerkung 3) der E^-Kern von A (aus Satz 9b)) zum Kern von A schlechthin, und E^ heißt dann eine erzeugende Relativnull (vgl. [2], S. 24).

Beispiel 10. Sei

Dann ist

^ , . , , , [^ 1 1 1 2 51

Zuerst sei n = 6 gewählt. Die einzigen nicht leeren K(6q, A), q^ ^i sind die Mengen

K { 6 ■ 6^ A) = I g^l für r ^ 1.

Der JSg-Kern von A ist also die Menge

K { E „ A ) =i^ - ^

r = 2, 3, .

Geht man statt von Eg von der erzeugenden Relativnull E^ (vgl. Bemerkung 9) aus, d. h. ist n = 1, dann haben die nicht leeren K{2q, Л), g € Z die Gestalt

gr + l

und der E^-KQvn von A ist durch

gegeben ; K{E^,A) ist der Kern von A schlechthin.

Der Satz 9 sei noch für N^ [A) statt für A formuMert, denn nach Folgerung 6 ist N^{A) eine Menge mit Relativnullen, genauer N'^{A) ist zu sich selbst maximale Relativnull.