218

Seh ei dt Anthmetische Funktionen über Halbordnungen, II

Es sei nun Q eine lokal endliche Halbordnung mit einem kleinsten Element o. Jedem Element /c € § sei eine ordnungsisomorphe Abbildung Тд. der Menge {a € § : Ä; < a} auf eine Teilmenge von ф mit folgenden Eigenschaften zugeordnet:

( a ) Тд(а) = 0 für alle а € |);

( b ) T^(a) = а für alle а € §;

( c ) aus с < b < а folgt rf^{a) < Гс{а).

Die Menge dieser Abbildungen heiße T. Für а I b ^ Q(^) und к < b < а definiere man

4 ( ^1 b) = ч(а) lrj,(b). Dies ist eine Abbildung von Q(^) in sich mit folgenden Eigenschaften:

( d ) f ür Ä < с folgt aus а I b <c с I d die Relation г^^(а lb) <.rj^(c j d), d. h. die bildung Тд. ist ordnungstreu ;

( e ) aus а I b <c с I d folgt г^,{а I b) <=^r^{c j d)\

( f ) ist & € а / с und к < с, dann gilt

Тд , ( а / с ) = Tj,(alb) ^ri,(b j с).

Definition 7. Zwei Quotienten А = а I a' und В = b I b' heißen teilerfremd ( lich T), wenn die Quotienten r^,(a / a') und rl,^{b j b') nur das Element 0 gemeinsam haben, wenn also inf (v(a), r^>[bf) existiert und gleich 0 ist.

Definition 8. Ein Quotient P, der nicht als Produkt P = P^^ P^ von zwei fremden Quotienten P^ und Pg? ^^n denen keiner ein Einheitsquotient ist, geschrieben werden kann, heißt Primquotient (bezüglich T).

Definition 9. Zwei Quotienten А = а ja' und В — b Ib' heißen äquivalent ( lich T), wenn v(a) = т^'(е) ist,

Lemma 3. Jeder Quotient А ^Q{^) kann ah Produkt von paarweise teilerfremden Primquotienten geschrieben werden.

Beweis . Ist А nicht Primquotient, dann gibt es eine Zerlegung А = A^^ A^m zwei ^einander teilçrfremde Quotienten A^ und A^, Sind dies keine Primquotienten, so kann man sie weiter in zueinander teilerfremde Quotienten zerlegen. Da A eine endliche Menge ist, bricht dieser Prozeß einmal ab. Die Primquotienten der so entstehenden legung sind paarweise teilerfremd, denn für B^<. A^ und B^^^ A^ sind mit A^ und A 2, nach (e) auch 5^ und B^ teilerfremd.

Auf die oben beschriebene Art wird man im allgemeinen zu wesentlich verschiedenen Zerlegungen eiîiés Quotienten in paarweise teilerfremde Primquotienten kommen. Es seien

a I b =^ Xq I x^ ^ Xj^ IX2 -^ • ' • -^^ x^^-^ I x^ mit x^^ a undjO?^ = b und

( ^1Ь = Уо1У1^У11У2^'" ^ Vs^i I Уз

mit Уо = а und Уа = b zwei solche Zerlegungen, wobei keine Einheitsquotienten auftreten sollen. Diese beiden Zerlegungen sollen nicht wesentlich verschieden (bezüglich T) heißen, wenn r^s ist und die Quotienten t^Xxi_-^lx^ eine Permutation der Quotienten '^yiHj-il Vj) sind. Nicht wesentHch versjßhiedene Zerlegungen haben also äquivalente Primquotienten. Sind für alle A €Ç(|ï) je zWei Zerlegungen in ein Produkt von paar-