G er su, Über einige neue summierbare Legendre-Reihen deren Koeffizienten in geschlossener Form gegeben sind :

133

( 9 )

D

2r + l , 2Л, 2x

Г ( Я + 1)

1

22X + 2

r ( v + l)r{ — v

( 10 )

r ( v + x + 2)r(—v + x + ^y (v + A + l)(—у + Д —^) ' = /«(Д, «) • /«(") • /„{v, A, x;),

r

D

2r , 2Л- 1, 2x- 1

( - i ) ^ - Y^ ^i^+i)^<2'')

1

22X + 1

/ ^w

Г ( г . + 1)Г

'4

r ( v + ре + 1)Г(—r + X+|-j.(r + A)(—V + Я—I)

= /,(Д, «) • /,{f) • f,{v, Д, «).

Dabei sind die Koeffizienten (9) und (10) schon so geschrieben, daß sie als Produkt dreier Funktionen aufgefaßt werden können, die jeweils nur von А und «, oder v allein, oder von allen drei Indizes abhängen. Außerdem werden spätere Koeffizientenvergleiche durch sehr erleichtert, daß alle /'-Funktionen der i^-abhängigen Anteile im Nenner stehen, was im Prinzip durch Anwendung der Verdoppelungsformel für die Gammafunktion immer erreicht werden kann.

Für die Grenzwert-Funktionen der beiden Legendre-Reihen (7) und (8) kann mittelbar das Symmetrieverhalten angegeben werden. Da G2a,2x(^) ^^^ ungeradzahlig indizierte Legendre-Polynome enthält, die alle zum Nullpunkt antisymmetrisch sind, müssen auch die Grenzwert-Funktionen der Reihen (7) antisymmetrisch sein. sprechend muß G2x-h2H-i(^) symmetrisch in bezug auf den Nullpunkt sein, so daß gilt

( 11 ) (12)

^^2A , 2x ( ^) — ^2A,2«(^)?

^2A - 1 , 2«-l( ^) ~ H~^2A-l,2x-lW-

2 . Die speziellen Grenzwert-Funktionen G^j^^i^) Mit der bekannten Orthogonalitätsrelation der Legendre-Polynome

+ 1 (13)

j PJx)PAx)dx^-^^~j-ô„

erhalten wir aus (1) unmittelbar

+ 1

( 14 )

/ P„{x)Gu,{x)dx = D„^t^^.