Blind , Über Unterdeckungen der Ebene durch Kreise

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wobei

( 270 ) Aus (270) folgt

( 271 ) Damit wird (272)

7Г = 2л + iA.

cos л = „ , W = -y-, tg л =

/ 15

Щп , 6 ) = - ^ + -^ + Уз=У15+Уз

Mit (268) und (272) ist die Richtigkeit der Ungleichung (181) nachgewiesen. Somit gilt

Satz 2. Für die oberen Dichten D aller Unterdeckungen der Ebene mit kongruenten Kreisen derart^ daß jeder Kreis beliebig weit von seiner Ausgangslage entfernt werden kann ohne jemals innere Punkte mit anderen Kreisen ^-г.хтв gemeinsam zu haben, gilt die Abschätzung

D < -—^-=- = 0,56049 . . .. ~ /3 +1/15

Der Wert D = 0,56049 . . . kann bei einer derartigen Unterdeckung tatsächlich genommen werden, wie das in Figur 6 gestellte Beispiel beweist.

Figur 6. Eine dichteste, der Problemstellung 2 genügende Kreisunterdeckung.

Zusatz bei der Korrektur (Dezember 1968):

Nach der Fertigstellung meines Manuskripts erschien in Stud. Sei. Math. Hungar. 2 (1967) eine Arbeit von A. Heppes, worin für das 2. Problem D ^ 0,56518. . . bewiesen wird.

Literatur

[ 1 ] G. Blind, Ebene Lagerungen von Kreisen, deren Radien nicht sehr verschieden sind, Dissertation Stuttgart 1966.

[ 2 ] L. Fejes Töth, Lagerungen in der Ebene, auf der Kugel und im Raum, Berlin-Heidelberg-New York 1963.

[ 3 ] L. Fejes Töth und J. Molndr, Unter de ckung und Überdeckung der Ebene durch Kreise, Mathematische richten 18 (1958), 236—243.

[ 4 ] A. Florian, Dichteste Packung inkongruenter Kreise, Monatshefte für Mathematik 67 (1963), 229—242.

[ 5 ] R. Kershner, The number of circles covering a set, Amer. J. Math. 61 (1939), 666—671.

[ 6 ] A. Thue, Über die dichteste Zusammenstellung von kongruenten Kreisen in einer Ebene, Christiania Vid. Selsk. Skr. 1 (1910), 3—9.

Universität Stuttgart, Mathematisches Institut B, 7 Stuttgart

Eingegangen 17. März 1968