Erle , Die quadratische Form eines Knotens

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10 . 4. Wegen (4) und der Vereinbarung in 9. 2 sind Г"К und f'L orientiert. 5^"+^ sei so orientiert: Im Punkt Xq= i sollen a:i, . . ., ж„, ?/o> • • •) 2/n i^ dieser Reihenfolge ein positiv orientiertes Koordinatensystem bilden. Nun ist die Verschlingungszahl ЦТ^'К, T'^L) von f'K und r^L in ^'^^^ wohldefiniert. (Wir legen die Definition von [19] zugrunde.)

Satz . Für die Verschlingungszahl 1{T^K^ T^L) gilt:

ЦТ'^К , f'L) = v{L, K) + (—iY'^HiK, L),

Der Rest des Paragraphen befaßt sich mit dem Beweis dieses Satzes. Wir wenden folgende Methode an: Jede der orientierten Untermannigfaltigkeiten T^K und T^L wird weise durch eine im Komplement der andern homologe orientierte Untermannigfaltigkeit ersetzt. Dabei ändert sich die Verschlingungszahl ja nicht, und die Berechnung wird auf einen einfachen Spezialfall zurückgeführt.

10 . 5 . Zunächst beseitigen wir die Doppelpunkte von К unter der Projektion pr. Seien p, qÇ: К mit pr{p) =: pr{q). Die orientierten Umgebungen / und / von (9) mit den Anfangspunkten а bzw. с und den Endpunkten b bzw. d wählen wir so klein, daß sie eine Umgebung der Fixpunktmenge F in S^ nicht schneiden und daß über der pakten Viereckfläche mit den Ecken pr{a)^ pf[d)^ Р^Ф)', Р^\(^) keine Punkte von {K Kj L) — I \j J liegen. Aus К nehmen wir I ^ J heraus und setzen die von а nach d führende und die von с nach Ъ führende Strecke ein. Dabei geht К in eine orientierte 1-Untermannigfaltigkeit K' über, so daß

a ) für K' und L (1) bis (9) gelten,

b ) v{K', L) = v[K, L) und v{L, K') = v(L, K),

c ) liT'^K', ТЩ = ЦТ^'К, ТЩ,

а ) und b) sind klar; с) folgt daraus, daß T^'K— T'^K' in 6'^"+^— T"L homolog zum Rand eines 5'*~^-Bündels über einer vom Streckenzug ab cd а berandeten simplizialen 2-Zelle ist.

Nach diesem Verfahren kann man alle Doppelpunkte von К und alle punkte von L beseitigen. Wir können also ohne Beschränkung der Allgemeinheit nehmen, daß pr\ К und pr \L injektiv sind. Das bedeutet, daß jede komponente von pr{K) und pr(L) — eventuell zusammen mit einem Stück von pr{F) — Rand einer in R^ eingebetteten 2-Scheibe ist. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit