204

Berger , Charakterisierung des Verzweigungsindex diskreter Bewertungen

( 1 . 3 . 4 ) Satz. Sei D eine Derivation von jR, {а,л) eine À-Ausdehnung von D, Es sind äquivalent:

1 . (J, я) ist universelle k-Ausdehnung von D,

2 . Für jede À-Ausdehnung (d\ jt') von D existiert genau ein Ringhomomorphismus tp, so daß für die kanonischen Ausdehnungen TT, TT', T von тг, тг', ip gilt %{d') = ^ "^ %[d) und

Beweis , Die angegebenen Bedingungen für die kanonischen Ausdehnungen der Homomorphismen bedeuten nach Definition gerade d' = ipodund n' = ^ о я, also ist 2. nach Definition der universellen Ausdehnung äquivalent zu 1. q. e. d.

( 1 . 3. 5) Transitivität der universellen Ausdehnung.

Satz . Seien X: R-^ S und /u: S-^ T Ringhomomorphismen, D eine Derivation von R in A, (rf, л;) die universelle À-Ausdehnung von D und (8, cp) die universelle ju-Ausdehnung von d. Dann ist (8, cp ож) die universelle pt о X-Ausdehnung von D.

Beweis . Sei (8', a) eine beliebige pt о Я-Ausdehnung von D. Dann ist {ö' о /г, а) eine Я-Ausdehnung von D. Also existiert genau ein yj mit Ъ' о pi = гр о d und а == ip ojt. (8', гр) ist dann eine //-Ausdehnung von d. Also existiert genau ein x ^^ Ъ' = x ^^^ und ip = x ° 9^- Also ist auch а = tp о л = x ° (^ "^ ^)- I^^ ferner x' ein beliebiger Homomorphismus mit 8' = ;^'о8 und (T = ;^'о (^ о Я, so folgt zunächst {y' oq))on = а und (x o(p)od = x' °^°l^ = ^' °l^- Aus der Eindeutigkeit von ip folgt daher x' ^ (p = 'tp^ und da 8' = ;^' о 8 gilt, folgt aus der Eindeutigkeit von x weiter x' == X- Ч- ^- ^^

( 1 . 3. 6) Universelle Ausdehnung auf ein homomorphes Bild.

Satz . Sei рь: S -^ T ein surjektiver Ringhomomorphismus, n = Ker (/г), d eine vation der Ordnung N von S in B. Sei ferner 9Î das von {d^y \y ^n,v ^ N} erzeugte Ideal in B,C = Bjyt, tj: B->C der kanonische Homomorphismus auf den Restklassenring, ferner für alle V Ci N ö" : T-> С die durch rj о d" induzierte Abbildung mit ô^ о pi = rj о d" und Ь = {Ô'' \ V (i N}. Dann ist (8, r]) universelle pi-Ausdehnung von d.

Zusatz . Ist {fi\ i^ 1} ein Erzeugendensystem von n als S-Ideal, so ist {d^f^ \v^N,i^ 1} ein Erzeugendensystem von 31 als B-Ideal,

Beweis . Wegen r}[d''n) ^г](Щ — (0) und pi surjektiv ist ô" wohldefiniert für alle V Ci N und 8 offenbar eine Derivation der Ordnung N von T in C. Nach Definition gilt ferner f] о d = & о jLi, also ist (8, rj) eine /^-Ausdehnung von d. Ist (8', rj') eine behebige//- Ausdehnung von d, so gilt jedenfalls rj' (9Î) = (rj' od'{n)\v^N)^ [ö" о pi{n)\v^N)=^ (0), so daß Г}' eindeutig ein гр induziert mit rj' = ip orj. Ferner gilt

ip о 0^ о pi == yj о Tj о d^ = 7]' о d^ = è'^ о pi

also , da pi surjektiv ist, ip о ô" = ô"" für alle v d N, d. h. (8, rj) ist universelle //-Aus- dehnung von d.

Beweis des Zusatzes. Nach Definition von 3Î liegen die angegebenen Elemente in 9Î. Umgekehrt wird 9Î erzeugt von den Elementen der Gestalt

dX2 : xJ , ) = ir d^x,-d'f„x,^S,v^N

also liegt Ш in dem von den {й^'Д \v ^ Nid 1} in В erzeugten Ideal, q. e. d.

( 1 . 3. 7) Universelle Ausdehnung auf einen Polynomring.

Satz . Sei S = R[X^\ id I] Polynomring über R in den Unbestimmten X^, Я : R-> S die Inklusionsabbildung, D eine Derivation der Ordnung N von R in A. Seien