Berger , Charakterisierung des Verzweigungsindex diskreter Bewertungen

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( 4 . 2.) KoroUar. Seien P ^ R lokale Ringe mit den Restklassenkörpern P und R, p das maximale Ideal çon P^ p - R das maximale Ideal von R. Ferner sei R separabel über P. Dann gilt Stab (R, P) = l.

5 . Diskrete Bewertungsringe mit separablen Bestklassenkörpern

( 5 . 1 ) Hauptsatz. Es sei R ein diskreter einrangiger Bewertungsring mit dem malen Ideal Ш, P ein lokaler Unterring mit dem maximalen Ideal p = m ^ P Ф (0). Ferner sei Rjm separabel über Pjp und e — e{R, P) definiert durch p - R = xxf. Dann gilt: e{R, P) = stab (i?, P).

( Falls auch P ein diskreter Bewertungsring ist, ist e der übliche Verzweigungsindex von R über P, vgl. [3] dort Verzweigungsordnung genannt).

Beweis . Indem man von R ^ P zu Rjp • R ^ Pjp übergeht, genügt es nach der Reduktion (3. 2), den folgenden Satz zu beweisen.

( 5 . 2) Satz. Sei R mit dem maximalen Ideal m ein lokaler Ring, m nilpotentes Hauptideal, e = e{R) = Min {Z | m^ — (0)}, P ein in R enthaltener Körper, so daß ü/m separabel über P ist. {P dabei mit P + tn/m identifiziert.) Dann gilt: e(R) = stab (R, P).

Beweis . Zunächst sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit e > 1 vorausgesetzt, da für e = 1 die Behauptung in (4. 2) enthalten ist.

Wegen m^ = (0) ist R komplett. Da ü/m separabel über P ist, gibt es also einen Vertreterkörper К von jR/m in R mit К ^ P (л^gl. [6]). Ferner ist R = К + m = К[и], wobei и ein Element mit m = R • и bezeichnet.

Sei fi: K[X]^ K[u] = R der kanonische Homomorphismus des Polynomrings K[X] mit ju{X) = u. Dann ist Ker (ju) = (X^); denn Ker {ju) ist jedenfalls ein Hauptideal (/), und wegen u^ = 0 ist / ein Teiler von X\ Dann ist aber (/) = (X^) mit l ^ e, also l = e nach Wahl von e.

Sei nun mit analogen Bezeichnungen wie (1. 3. 8):

Dj^ die universelle Derivation der Ordnung N von К über P, 8^ die universelle Derivation der Ordnung N von R über P, B'^ = В®^^(К, P) {X^"^ | v = 1, . . ., д],

IS . ^ : K [ X ] ^B'^ die Derivation mit L%X^u®i, à'^X=X^'^ für v^l und à^^iy) = i®D^y für alle y ^ K, v^N' y^: 5^-> 5^/(Д],X^ . . ., а^Г) = ^^(Д, P) der kanonische Homomorphismus. Dann ist ^№ 1^ — Yn "" ^n' Sei ferner

Ф^ : В'^ 9^[K, P) [X^^\ . .., X(^>] ^ Л/тп I Se AK, P) [X^^\ ..., ^^"^] ^ B'lm • B'

der kanonische Homomorphismus und Äjy == Ф^о Д^^. Dann ist Д^^ eine Derivation der Ordnung N von KiX] mit Д^^Х = 0, L'^X = X^'^ für v ^ 1 und K\[y) = D'^^y für alle y^K, v^N. Sei wie in (2.1) cp^: ^j,{R, P)-^ ^j^iRIP)!^^. Dann induziert y^ ein y^f mit yjv^ о Oj^ == 9?^ oy^. Mit cp^ und y^ ist auch y^ surjektiv. y-^ ist der kanonische Homomorphismus

y^ - . ^AK , P) [X«,..., xw]^s^(iir, P) [X(i>,..., x<">]/(ЛJ,x^..., à%xr

Sei nun M Ш N. Wir definieren einen Homomorphismus

H^ : ^AK, P) [X<i>, . . ., X<"'] -> ^^K, P) [X(i), . . , ZW]

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