Stôhr , Dualitäten in der Kategorie der lokal kompakten Moduln

243

unmittelbar einzusehen; die Aussagen, die die Gokerne betreffen, folgen aus den schaften der Faktormoduln. Sind M und Л^ Objekte der Kategorie, so ist das Tychonoff- Produkt M X N offensichtlich direktes Produkt von M und N in der Kategorie.

Daher sind die Kategorien Й*, АЦ, Äf und Ä* abelsche Kategorien.

Ist N ein abgeschlossener Untermodul von ilf, so erhalten wir eine kurze exakte Sequenz O-^N-^M-^MjN-^O von ^-Morphismen.

Ist umgekehrt 0-> N -^ M ^ L^O eine kurze exakte Sequenz von -x-Morphismen, so können wir N bis auf topologische Isomorphic als abgeschlossenen Untermodul von M auffassen und L ist topologisch isomorph zu dem Faktormodul MjN,

Satz 2. 2. Jeder Dualitätsfunktor D : ^ц^-^ ^ц. induziert einen additiven kontrai>arian- ten exakten Funktor i^on АЦ in Sfj..

Beweis , Sei 0 —> N —^ M -^-> L —> 0 eine kurze exakte Sequenz von lokal pakten Moduln und ^-Morphismen. Wir haben zu zeigen, daß auch

Q - >D { L ) - ^D { M ) - > D(N) -> 0

eine kurze exakte Sequenz von ^-Morphismen ist.

Sei T := D(o) der dem Dualitätsfunktor D zugeordnete dualisierende Modul. Die beiden Homomorphismen Нот (L, Г)->Нот(Ж, Г)-> Нот (TV, T) sind stetig. L ist topologisch isomorph zu Mji(N) und aus den Eigenschaften der Faktormoduln folgt, daß Нот (L, Г)-> Нот (M, T) ein injektiver Homomorphismus auf den abgeschlossenen Modul B:= Kern (Нот (Ж, Г)-> Нот (TV, T)) ist. Wir zeigen, daß diese Abbildung sogar offen ist. Sei dazu Kj^ eine kompakte Teilmenge von L und Urp eine offene menge von T. Wir zeigen, daß das Bild von W{Kj^, U^,) := {f ^ Нот (L, T) \ f{Kj) <c f/^} offen in В ist. Dazu zeigen wir zunächst, daß Kj^ im Bild einer kompakten Teilmenge von M enthalten ist. Da M lokal kompakt ist, existiert eine offene Umgebung Uj^ des

Nullelementes , deren abgeschlossene Hülle Uj^ kompakt ist. {p(m) + />(С^м)}т€М ^^^ ®^^® offene Überdeckung der kompakten Menge Kj^, Sei {р{ш^) -\- p(Ujj^)} eine endliche Teilüberdeckung. Dann ist Kj^ im Bild der kompakten Menge K^:= U (mi+ Uj^) enthalten: Kj^ <^p{K^), Sei nun / Ç W{Kj^, U^) r. B. Dsl "

f^B = Bild (Нот (L, T) -> Нот (M, Г)),

existiert ein g Ç Нот (L, Г), so daß f = g о p. Ев hi g (: W(Kj^, f/y), denn

g { KL ) - ^igop ) ( KM ) = f(K^)^U^,

Folghch enthält das Bild von W{Kj^, U^) in Нот (M, T) die Menge W{Kj^, U^) r> В und ist daher offen in B.

Damit ist gezeigt, daß die Abbildung D{L)^D(M) ein injektiver ^-Morphismus auf Kern (D(M)-^ D(N)) ist. Diese Abbildung kann daher in eine kurze exakte Sequenz 0-^ D(L)-^ D{M)-^ А ->0 von ■)f-Morphismen eingebettet werden. Es besteht ein kommutatives Diagramm

0 —> D(L) —> D(M) —> А —> 0

Î i

0 —> D(L) —. D{M) —> D(N) —> 0,

31 *