Endler , Henselsche Erweiterungen bewerteter Korper und Bewertungsfortsetzung 311

§ 2. Eine Verschärfung des Fortsetzungssatzes

Wie m § 1 seien (K, B) em bewerteter Korper und (K, B) eine henselsche rung von (jfiT, 5); ferner sei L = K{y) eine einfache algebraische Erweiterung von K, Mit P (bzw Рд) bezeichnen wir das Mmimalpolynom von у über К (bzw. von Xy über K, wobei X^^[L\K)) Ersichtlich wird durch Я i-> Рд eine Bijektion von ê-g{L\K) auf die Menge aller irreduziblen Faktoren von P m KIX} induziert. Deshalb laßt sich fur den hier betrachteten Fall L = K(y) der Fortsetzungssatz folgendermaßen formulieren:

( 2 . 1) Satz. Es seien P^^ . , P^ die verschiedenen irreduziblen Faktoren von P m ^[^]? ferner sei y^^Q eine Nullstelle von P^, und X^ sei die durch X^y = y^ bestimmte K-Embettung von L m Q {i = i^ • -•, r). Dann existieren {nicht notwendig verschiedene) Bewertungsringe C^, . . ., C^ von L mit der Eigenschaft (A,L, A,C,) g (K(y^), B) (i=^l,.. ., r), und es ist J^(L; Б) =: {Ci, . . ., Q.

Genau dann sind C^, ., C^ paarweise verschieden^ wenn (if, В) L-zulassig ist.

Dieser Satz ist insofern noch unbefriedigend, als er nichts über den Grad der seitigen Abhängigkeit der über В liegenden Bewertungsringe von L aussagt. Wir werden ihn verscharfen durch die Angabe hinreichender Bedingungen dafür, daß C^, . . , C^ paarweise ,,p-unabhangig" sind, wobei wir als Maß fur die gegenseitige Abhängigkeit die л on Null verschiedenen Primideale p von В wählen. Mit m\B) bezeichnen wir das Bewertungsideal (d h das einzige maximale Ideal) von В

( 2 . 2) Es seien C^, Cg € ^(L; B) und p ein Prunideal von B, Dann gilt^):

Beweis B' = C^ C^r\ К ist em В enthaltender Bewertungsring von K. Nach [2], (4 5), ist m{B') em Primideal von В mit B' = 5^(б)^ ^^^ P ^m(5') ist wertig mit B' ^ B^,

Sind die m (2. 2) angegebenen äquivalenten Bedingungen erfüllt, so nennen wir Cj, Сз (voneinander) р-а6/га^^1^, anderenfalls p-unabhangig Wir erinnern daran, daß die Bewertungsringe C^, С2 unabhängig (im üblichen Sinne) heißen, wenn C^- C^ == L ist; falls sie emrangig sind, ist dies mit jeder der folgenden Bedingungen äquivalent: C^ $ Cg; C2$Ci; Ci 4-C2 Zwischen der p-Unabhangigkeit und der ubhchen Unabhängigkeit besteht folgender Zusammenhang:

( 2 . 3) Es seien Cj, C^^^iL; B). Dann gelten^)-

a ) Ci, С2 sind genau dann unabhängig., wenn sie p-unabhangig fur jedes von Null verschiedene Primideal p von В sind.

b ) Cj Ф C2 gilt genau dann^ wenn C^, C^ m(B)-unabhangig sind.

Beweis , a) Genau dann gilt C^- C^'^ К f B^ fur jedes von Null verschiedene Primideal p von B, wenn C^- C^ ^ К = К ist, und diese Gleichung ist äquivalent mit C^' €2-= L. — b) Wegen B^^^^ -^ В = C^r^ К gilt C^- C^r^ К ^ В^^^щ genau dann, wenn C^- C2 '^ К = Cj^ r^ К gilt, und diese Gleichung ist äquivalent mit Cj • C2 = Cj, also auch mit 0^ = С2-

Falls В em (von iVull verschiedenes) minimales Primideal p^ besitzt, ist die abhängigkeit von Ci, С2 ersichthch gleichbedeutend mit ihrer pQ-Unabhangigkeit. Dies trifft insbesondere dann zu, wenn В endhchen Rang hat.

1 ) (2 2) (bzw (2 3)) gilt übrigens fur beliebige (bzw. beliebige algebraische) Erweiterungen L von K,